数列について

pを3以上の素数としS_n=1^p+2^p+…+n^pとするときS_nがn(n+1)で割り切れる
という事の必要十分条件は何ですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/07 20:41

pを3以上の素数とし

S_n=1^p+2^p+…+n^p
とする

S_nがn(n+1)で割り切れる
という事の必要十分条件は
n=0(mod4).または.n=-1(mod4)
n=4m.または.n=4m-1 となる自然数mが存在する事である

S_{2m}
=Σ_{k=1～2m}k^p
=Σ_{k=1～m}k^p+Σ_{k=1～m}(2m+1-k)^p
=Σ_{k=1～m}{k^p+(2m+1-k)^p}
=(2m+1)Σ_{k=1～m}Σ_{j=0～p}{k^(p-1-j)(2m+1-k)^j}

S_{2m}は2m+1で割り切れるから
S_{4m-2}=S_{2(2m-1)}は2(2m-1)+1=4m-1で割り切れるから
S_{4m-1}=S_{4m-2}+(4m-1)^pは4m-1で割り切れる

S_{4m-1}
=Σ_{k=1～4m-1}k^p
=Σ_{k=1～2m-1}k^p+(2m)^p+Σ_{k=1～2m-1}(4m-k)^p
=Σ_{k=1～2m-1}{k^p+(4m-k)^p}+(2m)^p
=4m[Σ_{k=1～2m-1}Σ_{j=0～p}{k^(p-1-j)(4m-k)^j}+2^(p-2)m^(p-1)]

S_{4m-1}は4mで割り切れるから
n=4m-1の時S_n=S_{4m-1}はn(n+1)=4m(4m-1)で割り切れる

S_{4m-1}は4mで割り切れるから
S_{4m}=S_{4m-1}+(4m)^pは4mで割り切れる

S_{2m}は2m+1で割り切れるから
S_{4m}は4m+1で割り切れるから
n=4mの時S_n=S_{4m}はn(n+1)=4m(4m+1)で割り切れる

S_{4m+1}=Σ_{k=1～4m+1}k^pは奇数だから4m+2で割り切れない
S_{4m+2}=Σ_{k=1～4m+2}k^p=S_{4m+1}+(4m+2)^pは奇数だから4m+2で割り切れない

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2021/11/09 19:31

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2021/11/09 14:04

う～ん完璧だねぇ（No.1さんの回答）

感動したわ。
結局pは3以上の奇数でもよいわけだ。