Lagrangianに関する問題です。

以下のTeXのファイルをコンパイルして質問に答えてください。１問だけでも答えてくださると助かります。
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\documentclass[a4paper]{jsarticle}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{overcite}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{bm}
\begin{document}

\begin{align}
\mathcal{L}[x]\equiv\mathcal{L}(\phi_{\alpha}(x), \partial_{\mu}\phi_{\alpha}(x)) \label{eq:1}
\end{align}
\noindent
をLagrangian密度、
\begin{align}
\mathcal{H}[x]\equiv\dot{\phi_{\alpha}}(x)\pi_{\alpha}(x)-\mathcal{L}[x] \label{eq:2}
\end{align}
をHamiltonian密度とする。ただし、
\begin{align}
\pi_{\alpha}(x)\equiv\frac{\partial\mathcal{L}[x]}{\partial\partial_t\phi_{\alpha}(x)}=\frac{\mathcal{L}[x]}{\partial\dot{\phi}_{\alpha}(x)} \label{eq:3}
\end{align}
とし、$(\ref{eq:1})$, $(\ref{eq:2})$を使って、
\begin{align}
\mathcal{H}[x]=\mathcal{H}(\phi_{\alpha}(x), \nabla\phi_{\alpha}(x), \pi_{\alpha}(x), \nabla\pi_{\alpha}(x)) \label{eq:4}
\end{align}
のように表現されているものとする。また、
\begin{align}
H=\int d^3x\mathcal{H}(\phi_{\alpha}(x), \nabla\phi_{\alpha}(x), \pi_{\alpha}(x), \nabla\pi_{\alpha}(x)) \label{eq:5}
\end{align}
をHamiltonianという。　\\
$\phi_{\alpha}$の変分とは、場$\phi_{\alpha}(x)$を任意に変化させたものを$\bar{\phi}_{\alpha}(x)$としたとき、1次の無限小
\begin{align}
\eta_{\alpha}(x)\equiv\bar{\phi}_{\alpha}(x)-\phi_{\alpha}(x) \label{eq:6}
\end{align}
のことである。ただし、
\begin{align}
\eta_{\alpha}(x)\to 0\quad (|\bm{x}|\to\infty) \label{eq:7}
\end{align}
であるとする。$\pi_{\alpha}$の変分$\zeta_{\alpha}(x)$も、式$(6)$, $(7)$と同様に定義される。\\

\noindent
問題１\\
$\phi_{\alpha}$, $\pi_{\alpha}$の変分がそれぞれ$\eta_{\alpha}(x)$, $\zeta_{\alpha}(x)$であることを使って
\begin{align}
\delta H&=\int d^3x\{(\frac{\partial\mathcal{H}[x]}{\partial\phi_{\alpha}(x)}-\nabla\cdot\frac{\partial\mathcal{H}[x]}{\partial\nabla\phi_{\alpha}(x)})\eta_{\alpha}(x) \notag \\
&+(\frac{\partial\mathcal{H}[x]}{\partial\pi_{\alpha}(x)}-\nabla\cdot\frac{\partial\mathcal{H}[x]}{\partial\nabla\pi_{\alpha}(x)})\zeta_{\alpha}(x) \notag \\
&+\nabla\cdot(\frac{\partial\mathcal{H}[x]}{\partial\nabla\phi_{\alpha}(x)}\eta_{\alpha}(x)+\frac{\partial\mathcal{H}[x]}{\partial\nabla\pi_{\alpha}(x)}\zeta_{\alpha}(x))\} \label{eq:8}
\end{align}
となることを示せ。\\
\newpage
\noindent
問題2\\
定義$(\ref{eq:2})$において変分をとることにより、
\begin{align}
\delta H&=\int d^3x \{\dot{\phi}_{\alpha}(x)\zeta_{\alpha}(x)+\pi_{\alpha}(x)\dot{\eta}_{\alpha}(x) \notag \\
&-\frac{\partial\mathcal{L}[x]}{\partial\phi_{\alpha}(x)}\eta_{\alpha}(x)-\frac{\partial\mathcal{L}[x]}{\partial\dot{\phi}_{\alpha}(x)}\dot{\eta}_{\alpha}(x)-\frac{\partial\mathcal{L}[x]}{\partial\nabla\phi_{\alpha}(x)}\cdot\nabla\eta_{\alpha}(x)\} \notag \\
&=\int d^3x\{\dot{\phi}_{\alpha}(x)\zeta_{\alpha}(x)-(\frac{\partial\mathcal{L}[x]}{\partial\phi_{\alpha}(x)}
-\nabla\cdot\frac{\partial\mathcal{L}[x]}{\partial\nabla\phi_{\alpha}(x)})\eta_{\alpha}(x) \notag \\
&-\nabla\cdot(\frac{\partial\mathcal{L}[x]}{\partial\nabla\phi_{\alpha}(x)}\eta_{\alpha}(x) )\}
\end{align}
となることを示せ。

\end{document}

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2021/11/16 12:34

方法が指示されているので、その通りに計算するだけです。

この中のどこが分からないのか、自分ではどの様にしたかを書いてください。

この回答へのお礼

問題１，２ともに被積分関数の最終項の出し方がわかりません。

お礼日時：2021/11/16 18:33