偏微分の｢偏導関数の応用｣の問題です。 楕円x^2/4+y^2＝1と直線x+y-4＝0との最短距離を

偏微分の｢偏導関数の応用｣の問題です。
楕円x^2/4+y^2＝1と直線x+y-4＝0との最短距離を求めよ。

解説していただけると幸いです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/18 11:20

点(u,v) と直線 x+y-4＝0 の距離 Hは公式から

　H=|u+v-4|/√2 → H²=(u+v-4)²/2
となる。したがって、(u,v)が楕円　u²/4+v²=1 上にあるとき、H²の
最小を求めればよい。

すると
　f(u,v)=(u+v-4)²/2 , g(u,v)=u²/4+v²-1=0
として、ラグランジュにより
　u+v-4=λ(u/2)=λ2v → u=4v
g=0 にいれて
　u=±4/√5 , v=±1/√5 (複号同順)

したがって
　H(±4/√5, ±1/√5)=|±4/√5±1/√5-4|/√2=|±√5 - 4|/√2
　　　=(4∓√5)/√2 (複号同順)
となり、有界閉集合 g=0 上の連続関数 f には必ず最大最小が存在し、
微分可能な関数 fの極値と一致する。さらに、停留点は２つしかないか
ら、これらの停留点は極値であり、値の小さいものが最小値である。

したがって、最小値は
　H(4/√5, 1/√5)=(4-√5)/√2

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/18 11:58

別解

楕円と直線の距離の最大最小は、楕円の接線が直線と平行になる
楕円上の点と直線の距離である。

楕円の接線は楕円を微分して、直線の傾き -1 と一致するから
　x/2+2yy'=0 → y'=-x/(4y)=-1 → y=x/4
これを楕円の式に入れると

　x=±4/√5 , y=±1/√5 (複号同順)
となり、この点から直線までの距離の内、最小のものを選べばよい。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/19 14:30

[1] 座標軸の向きを-π/4だけ回転させるために

　　x = (X + Y)/√2
　　y = (Y - X)/√2
と座標変換すると、直線の方程式と楕円の方程式はそれぞれ
　　Y = 2√2
　　5 X^2 - 6 Y X + (5 Y^2 - 8) = 0
両者が交点を持たないことは簡単に確認できる。（もし交点があれば、最短距離は0。）
　さて、X軸と平行な直線Y=Cがこの楕円の接線になっているとすると、接線なんだからXの二次方程式
　　5 X^2 - 6 C X + (5 C^2 - 8) = 0
は重解を持つ。判別式Dを作れば
　　D = (6C)^2 - 4×5(5 C^2 - 8) = 0
より
　　C = ±√(5/2)
と決まり、直線 Y=√(5/2)と直線 Y=-√(5/2)のうち直線Y = 2√2と近い方は前者なので、
　　2√2 - √(5/2)
が求める答。
　偏微分なんぞ使わなくても出来たのは、直線と二次曲線ゴトキじゃ偏微分にとって役不足だ、ということだな。

[2] もっと一般に
　　f(u,v) = 0
　　g(x,y) = 0
という条件のもとで関数h(x,y,u,v)の停留点を知りたい時に、ラグランジュの未定乗数法を使う。すなわち
　　L = h(x,y,u,v) + λ f(u,v) + μ g(x,y)
と置いて、
　　∂L/∂x = 0
　　∂L/∂y = 0
　　∂L/∂u = 0
　　∂L/∂v = 0
　　∂L/∂λ = 0
　　∂L/∂μ = 0
という連立方程式を解く。
　これをご質問の問題に応用するには
　　f(u,v) = (u^2)/4 + v^2 - 1
　　g(x,y) = x + y - 4
　　h(x,y,u,v) = (x - u)^2 + (y - v)^2
とすればよし。あとは淡々と計算するだけ。