母集団が指数分布であるとき、標本から母分散を区間推定する公式をお分かりであれば教えてください。

母集団が指数分布であるとき、標本から母分散を区間推定する公式をお分かりであれば教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/05 15:48

[1] 期待値がθ（θ＞0)の指数分布の確率密度関数φ(θ,x)は

　　H(x) = if x<0 then 0, else 1
を使って、
　　φ(θ,x) = (1/θ)H(x) exp(-x/θ)
と書ける。分散はθ^2なので、θの範囲が決まればθ^2の範囲も決まる。つまり

[2] K個のサンプルの平均値がMのとき、「これらがφ(θ,x)から取られたサンプルである」という仮説が有意水準αで棄却できないθの範囲は何か？
という話。

[3] 標本X[1], X[2], ... , X[K]の平均値が従う分布の確率密度関数を計算するために、
　　KM = (X[1] + X[2] + ... + X[K])
の確率密度関数を考える。めんどくさいんで
　　φ(θ,x)＊^K = φ(θ,x)＊φ(θ,x)＊....＊φ(θ,x)
と書くことにする。ただし＊は畳み込み積分(convolution)。すると、一般に、KMはφ(θ,x)＊^Kに従う。

[4] ここでφ(θ,x)が具体的に[1]の確率密度関数の場合には、
　　φ(θ,x)＊^K = (1/θ^K)((x^(K-1))/(K-1)!)exp(-x/θ)H(x)
となる。その証明は帰納法で、すなわち：
(1) K=2のとき
　　φ(θ,x)＊^2 = ∫{-∞〜∞} φ(θ,t)φ(θ,x-t) dt
　　= (1/θ^2)∫{-∞～∞} H(t) exp(-t/θ)H(x-t) exp(-(x-t)/θ) dt
　　= (1/θ^2)exp(-x/θ)∫{-∞～∞} H(t) H(x-t) dt
　　= (1/θ^2)exp(-x/θ)H(x)∫{0～x} dt
　　= (1/θ^2) x H(x) exp(-x/θ)
(2) K＞2のとき
　　φ(θ,x)＊^K = ∫{-∞～∞} (φ(θ,t)＊^2) φ(θ,x-t) dt
　　= (1/θ^K)(1/(K-2)!)∫{-∞～∞} t^(K-2) H(t) exp(-t/θ)H(x-t) exp(-(x-t)/θ) dt
　　= (1/θ^K)(1/(K-2)!)exp(-x/θ)∫{-∞～∞} t^(K-2) H(t)H(x-t) dt
　　= (1/θ^K)(1/(K-2)!)exp(-x/θ)H(x)∫{0～x} t^(K-2) dt
　　= (1/θ^K)((x^(K-1))/(K-1)!)exp(-x/θ)H(x)
というわけで

[5] 標本X[1], X[2], ... , X[K]の平均値Mが従う分布の確率密度関数をm(θ,x)とすると
　　m(θ,x) = (1/θ^K)((x^(K-1))/K!)exp(-x/θ)H(x)
従って（累積）分布関数
　　 ∫{-∞〜x} m(θ,t) dt
を計算して、さて[2]を解けば良いということ。

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。
具体的に標本の大きさを20 標本平均をμ とし、∑[k=1,20](X_k-μ)^2=400 であるとき、信頼係数95％(両側)での母集団分散の信頼区間はどうなるでしょうか？

お礼日時：2021/12/05 16:59