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以下の関数の1階導関数の値が0であるときのxの値を求め、そのときの2階導関数の値(正負)をもとに、どのxを値を取る場合に極大値、極小値が得られるか説明せよ。そしてその後に、極大値、極小値を答えよ。 *

f(x)=−2x^3−12x ^2+126x

xのべき乗は^で表しています

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

この様な 1階導関数が たすき掛けで 因数分解できる場合は、


2回導関数は 必要ない と云うか 逆に計算が複雑になるのでは。

f(x)=-2x³-12x²+126x 。
f'(x)=-6x²-24x+126=-6(x-3)(x+7) 。
f'(x)=0 → x=3, -7 → ココで 極値になる。
f'(x)<0 → x<-7, 3<x → この範囲で 減少関数。
f'(x)>0 → -7<x<3 → この範囲で 増加関数。
つまり x=-7 で 減少から増加に転じるので、極小値、f(-7)=-784 。
x=3 で 増加から減少に転じるので、極大値、f(3)=216 。
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何か、前にも同じような質問をしていませんでしたか?


そのときの回答から、何かを学んでいませんか?

f'(x) = -6x^2 - 24x + 126
  = -6(x^2 + 4x - 21)
  = -6(x + 7)(x - 3)
なので、
 f'(x) = 0
となるのは
 x=-7, 3
のときです。

このとき
 f''(x) = -12x - 24
より
 f''(-7) = 60 > 0
なので、このとき f'(x) つまり接線の傾きが増加するように、つまり「負→0→正」に変化するということなので、f(x) は「極小」になる。
極小値は
 f(-7) = -2・(-7)^3 - 12・(-7)^2 + 126・(-7)
    = 686 - 588 - 882
    = -784

同様にして、
 f''(3) = -60 < 0
なので、このとき f'(x) つまり接線の傾きが減少するように、つまり「正→0→負」に変化するということなので、f(x) は「極大」になる。
極大値は
 f(3) = -2・3^3 - 12・3^2 + 126・3
    = -54 - 108 + 378
    = 216
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