中点連結定理の証明

中点連結定理は、中学校の教科書でも「相似な図形の性質」を使って証明しているようですが、ウェブページ：ウィキペディアでの中点連結定理のページでは、その証明は循環論法になっているので誤りだ、とのこと。
そして、ウィキペディアでの証明のページでは、「平行四辺形の性質」を使って中点連結定理を証明しているようですが、こうした指摘は正しいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  台形における中点連結定理もありますが、ここでは取りあえず三角形における中点連結定理についての質問です。（三角形も台形でも、議論は同じ気がしますが・・・）

    補足日時：2021/12/18 00:11

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/21 21:30

2つの3角形に対して

(1)3組の辺の比がすべて等しい
(2)2組の辺の比が等しく,その間の角が等しい
(3)2組の角がそれぞれ等しい
の
うち
どれかが成り立つ場合、その2つの3角形は相似といえる

(1),(2),(3)が同値である事は

中点連結定理の一般化である
Triangle Proportionality Theoremとその逆
https://byjus.com/maths/triangle-proportionality …
を使って
証明できるから

中点連結定理を
「相似な図形の性質」
(2)→(1)
(2)→(3)
が成り立つ事を使って
証明すれば循環論法になる

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/19 21:07

△AMNと△ABCにおいて

|AM|:|AN|=|AB|:|AC|
∠MAN=∠BAC
ならば

|AM|:|AN|:|MN|=|AB|:|AC|:|BC|
∠AMN=∠ABC
が
成り立つ
ことの
証明に中点連結定理を使っていれば循環論法になると思われます

No.3 回答者： metabolian 回答日時： 2021/12/19 19:19

相似には「一方の図形を拡大・縮小したものが他方の図形と合同になる関係」という“定義”があります。

定義自体は「そう決めたこと」なので証明できません。
一方で、中点連結定理は、“定理”なので証明ができます。確かに、中学校の教科書では相似を使いますが、例えばそれ以外のアプローチも可能と思われます。
個人的には、Wikipedia上の記事の「数学的には、相似な図形の性質、成立条件を含め、あらゆる相似に関する定理はこの 中点連結定理 とその逆定理を繰り返し用いることで導かれる」のの出典やら、そうした証明の具体例やらが知りたいところです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/19 05:24

MはABの中点

|MN|=|BC|/2
だけれども
NはACの中点ではない

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/12/18 14:52

「ネットに書かれている 情報は、必ずしも すべて真実ではない。

」
と云う事が 云われますが、あなたはこれを どう思いますか。
「ウィキペディア」は その代表格とされたことがありますね。

ウィキの 記述の中で、下記の文章がありますね。
「このうち b. の内容は、反例を示すことで、容易に否定的に証明される。」
すみませんが 反例を 教えていただけませんか。
底辺の半分の線分が、残りの辺に接するならば、
それは中点しかないと思いますが。