物理の問題です

内部被爆の実効半減期に関する式
1/Teff=1/Tp＋1/Tb
Teff:実行半減期
Tp:物理学的半減期
Teff:生物学的半減期
を導出せよ。

この問題の証明と回答を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/21 23:20

物理学的な放射性物質の崩壊数は、現存する放射性物質の量 N に「崩壊定数：λ」をかけたもの、つまり

　dN/dt = -λN　　　①
と表わせる。

同様に、生物学的な体内の放射性物質の代謝による排出は、体内に存在する放射性物質の量 M に「排出定数：h」をかけたもの、つまり
　dM/dt = -hM　　　②
と表わせる。

この相乗効果として、体内にある放射性物質の量 R の減少は、減衰定数を k として
　dP/dt = -kP　　③
として減少していく。

下記のサイトにもあるように、上記の微分方程式を解けば
①→　N = No * e^(-λ*t)　　（No：t=0 のときの初期値）
②→　M = Mo * e^(-h*t)　　（Mo：t=0 のときの初期値）
③→　P = Po * e^(-k*t)　　（Po：t=0 のときの初期値）
となる。
ここで、③は①②の相乗効果（重ね合わせ）なので
　P = Po * e^(-λ*t) * e^(-h*t) = Po * e^[-(λ + h)*t]
と書けるので
　k = λ + h　　　　④
ということになる。

↓　半減期
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%B8%9B …

各々の半減期とは、No → (1/2)No, Mo → (1/2)Mo, Po → (1/2)Po になる時間なので
・P の半減期：Teff
・N の半減期：Ta
・M の半減期：Tb
と書けば
　e^(-λ*Ta) = 1/2
→　-λ*Ta = log(1/2) = -log(2)
→　λ = log(2) /Ta　　　⑤
という関係になる。（log は自然対数）
同様に
　h = log(2) /Tb　　　　⑥
　λ*h = log(2) /Teff　　⑦

⑤⑥⑦を④に代入すれば
　log(2) / Teff = log(2) /Ta + log(2) /Tb
→　1/Teff = 1/Ta + 1/Tb

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/12/22 07:40

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2021/12/21 23:03

exp(-t/Teff)=exp(-t/Tp)exp(-t/Tb)

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/12/22 07:40