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No.1
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1.
Dは y=x , x+y=1 , x=0 の3つの直線で囲まれた3角形。
u=x+y , v=y-x
と変換すると
y=x の線は v=0
x+y=1 は u=1
x=0は u=y=v
の3つの直線で囲まれた3角形になる(これを D'とする)。
2.
すると
x²+y²=(u²+v²)/2 , y²-x²=(y+x)(y-x)=uv
x=(u-v)/2 , y=(u+v)/2
だから
|J|=(1/2)(1/2)-(-1/2)(1/2)=1/2
3.
D'の積分は uを決めて、v=0~uまでの積分を u=0~1まで積分。
A=∫[D] (y²-x²)exp(x²+y²)dxdy=∫[D'] uv exp((u²+v²)/2) dudv/2
=∫[u=0,1] {∫[v=0,u] uv exp((u²+v²)/2) dv/2 } du
=∫[u=0,1] u exp(u²/2) {∫[v=0,u] v exp(v²/2) dv/2 } du
ここで
B=∫[v=0,u] v exp(v²/2) dv/2
とすると、v²/2=w と置いて
B=∫[w=0,u²/2] exp(w) dw/2=(1/2)[ exp(w) ][u²/2,0]
=(1/2)(exp(u²/2)-1)
となり、Aの積分に戻すと
A=∫[u=0,1] u exp(u²/2) (1/2)(exp(u²/2)-1) du
=(1/2)∫[u=0,1] u { exp(u²) - exp(u²/2) } du
=(1/2) [ { (1/2)exp(u²) - exp(u²/2) } ][1,0]
=(1/2) [ { (1/2)e - exp(1/2) } - {1/2-1} ]
=(1/2) (e/2-(√e)+1/2)
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