(x-a)^2+(y-b)^2=r^2の(p,q)における接線の方程式の方程式の証明お願いします。

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2の(p,q)における接線の方程式の方程式の証明お願いします。

多分法線ベクトル使ってやると思います。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/01/06 21:29

ベクトルの矢印は基本的に省略）

Po(p,q)とする
中心はC(a,b)で
それぞれの位置ベクトルは→po,→cとする
法線ベクトルnは半径と同一方向だから
n=po-c=(p-a,q-b)
次にPoを通り、ｎに垂直な直線(即ち接線）ｇ上を動く
動点をP(x,y)とおくと(位置ベクトルは→pとすると）
ｇのベクトル方程式は
n・(p-po)=0 (・・・直交するベクトルの内積=0 、もしくはp-po=0)
⇔(po-c)(p-po)=0
⇔(po-c)(p-po+c-c)=0
⇔(po-c)(p-c+po+c)=0
⇔(po-c){(p-c)-(po-c)}=0
⇔(po-c)・(p-c)-|po-c|²=0
po-c=CPoは半径だから
⇔(po-c)・(p-c)-ｒ²=0
⇔(po-c)・(p-c)＝ｒ²
内積を成分に直して
→(p-a,q-b)・→(x-a,y-b)
=(p-a)(x-a)+((q-b)(y-b)
=r²

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/01/06 20:43

(p、q)における接線って

(p、q)が接点ってこと？
それとも(p、q)を通り楕円に接する接線？