R^n×[0,1]→R^n,(x,t)|→txが連続写像であることを示すにはどうすれば良いですか？

R^n×[0,1]→R^n,(x,t)|→txが連続写像であることを示すにはどうすれば良いですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/16 04:53

0≦s≦1

a∈R^n
任意のε>0
に対して
δ=ε/{2(1+|a|+s+ε)}
とする
|(x,t)-(a,s)|=√(|x-a|^2+|t-s|^2)<δ=ε/{2(1+|a|+s+ε)}
0≦t≦1
x∈R^n
となる任意の(x,t)に対して
|x-a|≦|(x,t)-(a,s)|<ε/{2(1+|a|+s+ε)}
|t-s|≦|(x,t)-(a,s)|<ε/{2(1+|a|+s+ε)}<ε
|t-s|<ε
0≦t<s+ε
だから

|tx-sa|
=|tx-ta+ta-sa|
=|t(x-a)+(t-s)a|
≦t|x-a|+|t-s||a|
<(s+ε)ε/{2(1+|a|+s+ε)}+|a|ε/{2(1+|a|+s+ε)}
<(ε/2)+(ε/2)
=ε

だから
R^n×[0,1]→R^n,(x,t)|→tx
は連続

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2022/01/18 05:44