ラグランジュの未定乗数法

私の持っている微積の参考書には

g(x,y) = 0 の条件下で z = f(x,y) の極値を調べるには

①g(x,y) = 0
②f_x/g_x = f_y/g_y

を連立させて、これを満たす (x,y) を求めればよいと説明されています。これにしたがうと

g(x,y) = x^3 + y^3 - 1 = 0 という条件下で f(x,y) = x^2 + y^2 の極値を求めるには

f_x = 2x, f_y = 2y
g_x = 3x^2, g_y = 3y^2

2x^2/3x^2 = 2y^2/3y^2
∴x = y

これをx^3 + y^3 - 1 = 0 に代入して
2x^3 = 1. x^3 = 1/2

実数解は x = (1/2)^(1/3) = 2^(-1/3) なのでけっきょく
f( 2^(-1/3),2^(-1/3) )
= 2･2^(-2/3) = 2^(1/3)
という極値を持つということになりますが、極大なのか極小なのかが不明です。
　ほんとうに、ほかに極値は持たないのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/18 06:23

極値の検討を陰関数で行う。

１．
　y=(1-x³)¹/³
だから
　f=x²+(1-x³)²/³
となる。

f'=2x+(2/3)(1-x³)⁻¹/³(-3x²)=2x-2x²(1-x³)⁻¹/³
f''=2-4x(1-x³)⁻¹/³-2x²(-1/3)(1-x³)⁻⁴/³(-3x²)
　=2-4x(1-x³)⁻¹/³-2x⁴(1-x³)⁻⁴/³
すると
f''(0)=2>0
f''((1/2)¹/³)=2-4(1/2)¹/³(1/2)⁻¹/³-2(1/2)⁴/³(1/2)⁻⁴/³
　　　　　　=2-4-2<0
となり、
(0,1)は極小、 ((1/2)¹/³,(1/2)¹/³) は極大とわかる。

２．
(1,0) は上の陰関数では微分不可能なので x=(1-y³)¹/³ を使いyの
関数として、議論する。計算するまでもなく、x,yは対称だから

f''(y=0)は上のf''(x=0)と同じ形で、正となるから極小とわかる。
ちなみに、f(x)のグラフをmaximaでプロットした。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2021/08/18 08:55

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/18 00:06

fx=λgx , fy=λgy → (x=0 or x=2/3λ)かつ(y=0 or y=2/3λ)

となる。すると
x=0 or y=0 or x=y

したがって、g=0 から
x=0 , y=1
x=1 , x=0
x=1/2¹/³ , y=1/2¹/³

上２つは極小、最後は極大ですが、判定は難しい。縁付きヘッセの
式があるが面倒なので計算する気がしない（可能かもわからない）。