一次不定方程式

43x+32y=4の整数解をすべて求めよ。この問題の解き方と答え教えてください

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/26 05:55

43x+32y=4…(1)

43と32に対して互除法を使う
43を32で割ると商は1余りは11だから
43=32*1+11
↓両辺から32を引くと
43-32=11…(2)
32を11で割ると商は2余りは10だから
32=11*2+10
↓両辺から11*2を引くと
32-11*2=10…(3)
11を10で割ると商は1余りは1だから
11=10*1+1
↓両辺から10を引くと
11-10=1
↓この10に(3)を代入すると
11-(32-11*2)=1
11-32+11*2=1
11+11*2-32=1
11*3-32=1
↓この11に(2)を代入すると
(43-32)*3-32=1
43*3-32*3-32=1
43*3-32*4=1
↓両辺に4をかけると
43*12-32*16=4
↓これを(1)から引くと
43(x-12)+32(y+16)=0
↓両辺に43(12-x)を加えると
32(y+16)=43(12-x)…(4)
↓右辺は43の整数倍だから左辺も43の整数倍
↓32と43は互いに素だからy+16が43の整数倍だから
y+16=43nとなる整数nがある…(5)
y=43n-16…(6)
(5)を(4)に代入すると
32*43n=43(12-x)
↓両辺を43で割ると
32n=12-x
↓両辺にx-32nを加えると
x=-32n+12
↓これと(6)から
∴
x=-32n+12
y=43n-16
(nは任意の整数)

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/01/26 15:13

掛けるの記号を * で表します。

43=32*1+11 →　11=43*1-32*1 ・・・①
32=11*2+10 →　10=32*1-11*2 ・・・②
11=10*1+1 →　1=11*1-10*1 ・・・③
③ に ② を代入 1=11*1-(32*1-11*2)=11*3-32*1 ・・・④
④ に ① を代入 1=(43*1-32*1)*3-32*1=43*3-32*4 ・・・⑤
⑤ を ４倍して 左辺と右辺を云入れ替える。
43*12-32*16=4 ・・・⑥ 。
問題に式から ⑥ を引く。
43(x-12)+32(y-16)=0 → 43(x-12)=-32(y-16) 。
43 と 32 は互いに素ですから、k を任意の整数として、
x-12=-32k →　x=-32k+12 、同様に y=43k-16 。