直線上を一定速度vで移動する振動数fの音源が、静止した観測者に接近し、そのまま同じ速度で遠ざかった。

直線上を一定速度vで移動する振動数fの音源が、静止した観測者に接近し、そのまま同じ速度で遠ざかった。音源の通過前後で観測される音の振動数の差を表 す式は？ただし音速をcとする。という問題で、
近づくのがcf/c-v、遠ざかるのがcf/c+vなのは分かるのですが、2cvf/(c+v)(c-v)にする計算がわかりません。
どうやって計算すればいいのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/05 13:54

単に通分しての計算です

簡単のために置き換えを利用すれば
c-v=M
c+V=Nとして
(cf/c-v)-(cf/c+v)
=(cf/M)-(cf/N)
<ここで通分＞
=(cfN/MN)-(cfM/NM)
=(cfN-cfM)/MN
=cf(N-M)/Mn
<N-M=2vだから＞
=cf(2v)/Mn
=2cfv/{(c+v)(c-v)}

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/02/06 14:44

通分して整理するだけ。

下の4行目までは特に技巧もなく
極普通の式の整理です。

これわかんないのはムチャクチャヤバイですね。

cf/(c-v) - cf/(c+v)
=cf(c+v)/{(c-v)(c+v)} - cf(c-v)/{(c+v)(c-v)}
={cf(c+v) - cf(c-v)}/{(c-v)(c+v)}
=2fcv/{(c-v)(c+v)}
=2fcv/(c²-v²)

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/02/05 14:07

音波が伝わる「空気」は静止しています。

つまり、ある瞬間に音源が発した音は、距離 L だけ離れた観測者には
　T = L/c　　　①
の時間後に到達します。
この時間 T の間に、音源は
　vT
だけ観測者から遠ざかっています。
そして、その時間に音源が発した音波の数は
　fT
です。

つまり、近づくときには
・距離：L - vT
の間に、音波が fT 個が存在します。
従って、その波長は
　λ1 = (L - vT)/(fT)
であり、音速が c なら振動数は
　f1 = c/λ1 = c/[(L - vT)/(fT)]
　　= cfT/(L - vT)
①の関係を使って書き直せば
　f1 = cf(L/c)/(L - vL/c)
　　= fc/(c - v)

逆に、遠ざかるときには
・距離：L + vT
の間に、音波が fT 個が存在します。
従って、その波長は
　λ2 = (L + vT)/(fT)
であり、音速が c なら振動数は
　f2 = c/λ2 = c/[(L + vT)/(fT)]
　　= cfT/(L + vT)
①の関係を使って書き直せば
　f2 = cf(L/c)/(L + vL/c)
　　= fc/(c + v)

「振動数の差」を答えるのであれば
　Δf = f1 - f2 = fc/(c - v) - fc/(c + v)
　　= fc[(c + v) - (c - v)]/[(c - v)(c + v)]
　　= 2fcv/[(c - v)(c + v)]

「公式」で覚えるのもよいですが、意味が分からずに公式を使うと「トンチンカン」なことをしがちなので、上のように「どういう現象が起こっているのか」を理解した上で、次から「意味が分かって公式を使う」ようにした方がよいです。