１，２，３，・・・∞ の ∞（無限大）は 有限の数である

１．　個数を　１，２，３，・・・と数えて行けば　切りは無い。

２．　∞（無限大）まで来たとしても　その無限大という数にも １を加えることができる。

３．　だがこれは　いくら限りなくつづくとしても　やはり多いか少ないかの相対的な数量の問題である。

４．　つまり　無限大は　一定のあたいを採っており　有限の数だ。人知がおよぶ。認識しうる。

５．　宇宙は　限りが無い（果てしなくつづく）としても　経験事象であって　相対性の領域であり　無限の――つまり可能無限なる――事物・現象も　大きく有限の世界におさまっている。

６．　無限――つまり真無限――との勘違いが　見られるのではないか？　この勘違いがつづくかぎり　神論は無理だと思われるが　果たしてどうか・・・

No.12 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2022/03/26 15:35

偶数全体の個数をE、整数全体の個数をZとおくと、

E＝∞, Z＝∞
です。ご質問者がおっしゃるように「∞（無限大）は」「一定のあたいを採っており　有限の数だ」とすると、
Z－E＝∞－∞＝0
という計算になってしまいます。しかし、これは奇数の存在と矛盾します。

これに対しては、「Eの∞とZの∞は別物だ」という弁解が考えられるでしょう。しかし、文字式において同じ記号で表されるものが別物だというのは矛盾ですね。ご質問者はNo.3の回答へのお礼で「無限大という一定の数」とおっしゃったにもかかわらず、∞は不定なんですか？
さらにこれに対しては、「∞は有限かつ一定である。その一定は恒常的に一定とは言えないが、任意に一定にし得るものである。というのは、たとえ正の無限大に発散する数列であろうとも、途中で打ち切れば、そのとき限りは有限確定値になるからだ」などの遁辞が考えられます。
しかし、そんなものは有限といわず無限というのです。ご質問者は高校レベルの数学の知識さえないでしょう。極限の計算で「不定形」というのが出てきます。不定形を避けるように極限の式を変形すれば計算できると、習います。つまり見かけ上の不定形という問題です。見かけ上ではない本物の不定形は、計算できません。なぜなら、それは「一定の数」ではないからです。その不定形の例として有名なのが、前出の「∞－∞」です。

以上の説明は高校数学レベル（私もそれ）ですが、専門レベルの数学でも、やはり「∞（無限大）は 有限の数である」は矛盾を生じ弥縫できないとされています。よって、数学者たちは数学の世界から無限大を追放しました。代わりに「極限」を駆使して堅牢な理論を築きました。前々回の回答でも述べましたが、極限はイプシロンデルタ論法で厳密に定義できます。
なお、1960年代（数学の長い歴史でいうと最近）に創始された超準解析により、無限大を追放せずに組み込んだ体系も認められました。ただし、それは「超実数」というのを導入するのです。
一方、ご質問者がNo.7の回答へのお礼で「∞：　仮りに 一兆　あるいは 一京 とする」とおっしゃったようなレベルでは、無限大の矛盾を解消できないことが分かっています。
No.10の回答へのお礼で、

> ☆　それは　集合の話です。つまりは　有限の領域の問題でしかありません。

とおっしゃっていますが、無限集合の理論（濃度など）をご存知ないのでしょうか？　無限集合は明らかに有限集合と異なるものです（たとえば真部分集合が全体集合に等しいなど）。また、

> ★　「対角線論法」という武器
> ☆　これは　悪名高き簡便法による証明〔まがいのもの〕です。

とおっしゃっていますが、その神経が疑われます。対角線論法（大学レベル）以前に、背理法（義務教育レベル）が分かっていらっしゃらない？　ご質問者が正しいなら、現代の数学は崩壊しますね。
結局、ご質問者の説は哲学を装った長たらしい妄想に過ぎないでしょう。無限についても、「神論」についてもです。

この回答へのお礼

★　∞
☆　は　無限大と規定する数を示す記号です。

その無限大と表現した数は　限りなく大きい数としてつづくそのそれぞれのあたいを示そうとしている。

そしていつでもその値を決めようと思えば決められる。任意に。その意味で：
☆☆　∞ は　無限大という一定の数
☆　なんです。

なおこの場合の《無限》という表現は　経験世界なる相対的で有限の事象について〔のみ〕言っていて　その確定した数は　つねに《有限の数》です。

経験事象とは　人知がおよぶということです。けれども　人知そのものが　うつろいゆかざるを得ない《身体ｘ精神》のもとにあるからには　つねに或るものと別のものとを量的に形態的に比べて相対性として認識される性質をまぬかれません。


《可能無限》の世界は　すべて《有限の領域》におさまるのです。

★　不定形・極限・超実数
☆　も　しかりです。
極限は　極限値があれば　一定の数の問題です。
超実数は　無限大と同じようなことなのでは？






★　　一方、ご質問者がNo.7の回答へのお礼で「∞：　仮りに 一兆　あるいは 一京 とする」とおっしゃったようなレベルでは、無限大の矛盾を解消できないことが分かっています。
☆　矛盾の解消は　ここで扱っていません。


★　無限集合の理論（濃度など）をご存知ないのでしょうか？　無限集合は明らかに有限集合と異なるものです（たとえば真部分集合が全体集合に等しいなど）。
☆　問題が別でしょう。


★　対角線論法（大学レベル）以前に、背理法（義務教育レベル）が分かっていらっしゃらない？　ご質問者が正しいなら、現代の数学は崩壊しますね。
☆　たぶん。

お礼日時：2022/03/26 18:19

No.11 回答者： kairou 回答日時： 2022/03/22 11:13

＞では　１００のあとに　０をいくつつけ添えれば　無限大という一定の数だとみとめますか？

NO3 です。　認めません！！
前にも云った通り 無限大は 数ではなく、概念です。
他の回答者の方も 同じ様なことを 書いていますね。
従って 1 の後に どれだけ 0 を並べても、無限大には成りません。
永久に 並べ続けなければ なりません。つまり 終わりがないのです。
終わりがないものに 1を足すことは 出来ませんよね。
これを認めないと 先に進めません。

この回答へのお礼

★　 1 の後に 0 を　永久に 並べ続けなければ なりません。つまり 終わりがないのです。
☆　終わりがないというのは　個数を数えるとき　１，２，３，・・・というふうに　１づつ増えて行きますが　４，５，６，・・・というふうに一つひとつの数はそれぞれ一定のあたいが　あるのです。

無限大は　∞ という記号が用いられているに過ぎません。それぞれのあたいが　あるのです。

だから　そのつど　１を足すことが出来ます。

お礼日時：2022/03/22 13:13

No.10 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2022/03/22 08:38

おそらく、ご質問者は形式科学の威力をご存知ないと思われます。

前回の回答でも述べましたが、数学は形式科学の一種です。
どうもご質問者は、無限と無限とを比較することは不可能、そう思い込んでいらっしゃるようです。比較可能なのは、相対的で有限なものだと。
しかし、大学で数学をかじった人なら（数学科とは程遠いポンコツ学科でも）知ってるように、「全単射」（平たく言うと1対1対応）を使えば、無限と無限とを比較できるのです。
ただし、その際1個ずつ確かに対応していることを調べ挙げていたら、いつまで経っても終わりません。何しろ無限ですから。そこで、「対角線論法」という武器を使います。これは背理法の一種であって、経験で直接確かめるのではなく間接的な証明です。これぞ、冒頭で述べた形式科学の威力でしょう。
その結果、無限にも大きい無限と小さい無限があることが証明されています。いいえ、大小と言っては語弊があるので、濃度と言うことになっています。

これにより、無限の全体性を把握するという考え方を「実無限」と呼びます。一方、それと対照的な考え方が「可能無限」で、全単射と対角線論法を導入しません。「無限とは限りがないこと」と、読んで字のごとく解釈して、それは1を足し続けるなどの操作で実際に認識できるが、無限の全体性は把握不可能という考え方です。
つまり、No.6の回答へのお礼にお書きになっている《実無限》、《可能無限》の説明はデタラメでしょう。実無限、可能無限は有限の領域に属するのではありません。《真無限》とやらの絶対性に至っては妄想でしょう。

妄想から目を覚まして学に志すならば、無限もある意味相対的なものであることが分かります。無限にも濃い無限、薄い無限があって、それはアレフ数で表されます。
現代数学の無限論は、完全無欠なものとも限らないでしょうから、前回回答で「もっと深遠な無限がありうるかも」と述べましたが、一方ご質問者は、勘違いも甚だしい無限論を基礎に据えて、その上に「神論」を築いていらっしゃるようです。とてもじゃないけど、信者は獲得できないでしょう。

この回答へのお礼

★　「全単射」（平たく言うと1対1対応）
☆　それは　集合の話です。つまりは　有限の領域の問題でしかありません。



★　「対角線論法」という武器
☆　これは　悪名高き簡便法による証明〔まがいのもの〕です。


A.　【Q:カントールの対角線論法への疑問】
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10808009.html

Ｂ.　【Q:連続体仮説の扱いは 《非知》ですか？ （大澤真幸説への批判です）】
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9700259.html?pg=1




★　～～～
これにより、無限の全体性を把握するという考え方を「実無限」と呼びます。一方、それと対照的な考え方が「可能無限」で、全単射と対角線論法を導入しません。「無限とは限りがないこと」と、読んで字のごとく解釈して、それは1を足し続けるなどの操作で実際に認識できるが、無限の全体性は把握不可能という考え方です。
つまり、No.6の回答へのお礼にお書きになっている《実無限》、《可能無限》の説明はデタラメでしょう。実無限、可能無限は有限の領域に属するのではありません。《真無限》とやらの絶対性に至っては妄想でしょう。
～～～
☆　前段は　おおむね合っています。
後段は　推論がつながっていません。説明（批判内容）がありません。



参考：
☆☆　Ｂの　No.8　回答者： stomachman　へのお礼欄　～～～

★　究極の理論(TOE: Theory Of Everything)
☆　について説明いただきました。

★　　神秘思想のほうは、このテストを課すことができない。科学哲学で「反証不能」と呼ばれる性質です。反証不能の思想は、自己整合的(self-consistent)なら形而上学、とっちらかっていれば夢想・妄想と呼ばれるでしょう。

☆　そうなのですが　それは　演繹か帰納によって成り立つ場合ではないでしょうか？　仮説法によって神を《非知》として想定する場合には　経験世界としての現実との対応ないし照応があるなら　その妥当性がみとめられるはずです。

そのように経験科学たる哲学として：
★　〔数学の公理を現実と対応づけようとすることは〕神秘思想にとってあり得る
☆　場合があり　信念や詩の表明ではなくその道はひらけていると考えます。

～～～～

お礼日時：2022/03/22 09:15

No.9 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2022/03/22 02:03

残念ながらご質問者は二重に誤っているでしょう。

まず、「∞（無限大）まで来たとしても　その無限大という数」とおっしゃっているのが誤りです。無限大は数ではありません。じゃあ何かというと、正の無限大に発散する数列のようなイメージです。「発散」はご存知ですね。
そもそも、「１，２，３，・・・」とお書きになっている、それが数列なんです。数学で「∞＋1」などと書いたりしますが、無限に続く数列の項にその都度1を足すようなイメージをしてみてください。
その列を途中で打ち切るならば、有限の数となります（No.5の回答へのお礼「どこまで行っても　有限の数です」）。しかし、打ち切らないからこそ無限なのであって、有限の数として確定はしません。よって、「つまり　無限大は　一定のあたいを採っており　有限の数だ」とおっしゃるのは矛盾した物言いでしかありません。

また、ご質問者は無限集合の「濃度」についてご存知でしょうか？　無限にも濃い薄いがあるということです。たとえば、偶数も奇数も整数も無限にあるわけですが、その個数の無限性を比較するなら、偶数、奇数は整数の半分ずつのはず……。
いいえ、それは大間違いなんです。偶数の濃度、奇数の濃度、整数の濃度、これらはすべて等しい。常識では受け入れ難いことですが、すでに厳密に証明されています。おまけに、有理数の濃度までそれらと同じです。
じゃあ、実数の濃度も同じですか。いいえ、同じではないことが証明されています。実数の個数の方が多い（というより濃度が大きい）のです。
さらに、実数の濃度と複素数の濃度は等しいことが分かっています。しかし、複素数はご質問者のおっしゃるような「多いか少ないかの相対的な数量の問題」ではありませんね。なぜなら、複素数には大小がありません（あえて疑似的な大小を定義すれば順序関係を付けることはできるが）。
つまり、「多いか少ないかの相対的な数量の問題」の外にある複素数の、その総数についてまでも、すでに「人知がおよ」んでいるわけです。

ご質問者の第二の誤りは、経験科学と形式科学の区別がついてないらしいことです。これまで数学についてちょっと述べましたが、これは形式科学であり、実地に経験するのが無理な事柄でも、形式面で認識できます。有限のみならず無限についても、人知を及ぼして証明を与えています。
さて、それなら数学は無限を知り尽くしているか？　いいえ、「無限」と近縁の「極限」についてなら厳密に定義されていますが（いわゆるε-δ論法）、無限の定義については、さほどでもないそうです。私も（もとより無学だが）、「無限大は」「正の無限大に発散する数列のようなイメージ」と前述しました。極限の一種たる「発散」を利用して、トートロジー気味に「無限大」のイメージを述べたような次第です。

ということで、数学者たちが通暁して（そして私たちのような素人でも、かじって）いる無限の、さらに外に、もっと深遠な無限がありうるかも知れません。その点、彼らは勘違いしていないと思いますよ。未だ彼らの与（あずか）り知らぬところの、そのような無限については、数学者よりも哲学者さんらが語ってくださいと。
そこで、ご質問者が「真無限」とやらを提唱しているという寸法でしょうか。しかし、これまで説明いたしましたように、ご質問者はすでに二重に誤っていらっしゃるようです。誰もご質問者の無限論を聞く気にはならないと思われます。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。


★　無限大は数ではありません。
☆　一定の数をシルシとして表わしています。

それは　次のようにです。：
★　数学で「∞＋1」などと書いたりしますが、無限に続く数列の項にその都度1を足すようなイメージをしてみてください。
その列を途中で打ち切るならば、有限の数となります（No.5の回答へのお礼「どこまで行っても　有限の数です」）。



★　また、ご質問者は無限集合の「濃度」についてご存知でしょうか？
☆　わたしは　実感できません。でもその問題は　いまの質問とは別だと考えます。


★　～～～
無限にも濃い薄いがあるということです。
・・・偶数の濃度、奇数の濃度、整数の濃度、・・・有理数の濃度までそれらと同じです。
じゃあ、実数の濃度も同じですか。いいえ、実数の個数の方が多い（というより濃度が大きい）のです。
さらに、実数の濃度と複素数の濃度は等しいことが分かっています。
・・・
つまり、「多いか少ないかの相対的な数量の問題」の外にある複素数の、その総数についてまでも、すでに「人知がおよ」んでいるわけです。
～～～
☆　それらはすべて　有限の領域におけるお話です。


★　数学・・・は形式科学であり、実地に経験するのが無理な事柄でも、形式面で認識できます。有限のみならず無限についても、人知を及ぼして証明を与えています。
☆　その無限は　すべて有限の領域に属す可能無限です。


★　数学者たちが通暁している無限の、さらに外に、もっと深遠な無限がありうるかも知れません。
☆　もしこの《深遠な無限》が《真無限》のことだとすれば　それは　有限の領域の《外》なんかではないです。

内に対する外という規定は――有限の領域の境とそれを超えたところといった表現で捉えてみた場合ですが――　それはおのづと分かるように　やはり《有限の領域において限りなくつづく可能無限》でしかないのです。境界が延々と延びるイメージです。


★　そこで、ご質問者が「真無限」とやらを提唱しているという寸法でしょうか。
☆　内と外という規定は　けっきょく互いに地続きなんです。

有限と真無限とは　そこに絶対のへだたりがあるのです。超自然ないし超経験の場またはチカラ　これが　真無限です。

ただし　絶対性でもある真無限は　相対性なる有限領域を　じつは覆い包むと推理されます。

お礼日時：2022/03/22 04:11

No.8 回答者： 三菱五反田2187351横山あつし 回答日時： 2022/03/22 00:51

一応前回の件は謝っておきます。

私に非はないけどね。
あなたにも同様に非がない可能性を否定できないので。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。


必ずしも　よくは分かりませんが　承りました。だいじょうぶです。

お礼日時：2022/03/22 03:44

No.7 回答者： hiroparty1 回答日時： 2022/03/21 23:21

no5です

無限大に1を足すことはできません。無限大と言うのは「兆」や「京」と言った単位ではないからです。そこが矛盾する原因です。それは「ネズミと空気を足したらいくつになるのか」と聞くのと一緒です。

この回答へのお礼

★　無限大と言うのは「兆」や「京」と言った単位ではない
☆　のですが　《仮りにその ∞ という記号であらわした数を　特定してみたら・・・》という場合があり得るわけです。

つまりは：

　∞：　仮りに 一兆　あるいは 一京 とする

というふうに実際の数をあてはめてみる。ならば　１を足してだいじょうぶです。

お礼日時：2022/03/22 03:42

No.6 回答者： sakuratojoruri 回答日時： 2022/03/21 23:16

１を０．９９９９９９・・・

として表現する方法あり。
この０のとなりの９の数は無限ですね。
いくつあるかわからぬ。
俗に無限小数といういい方有。

ではこれに１を足すと２となるか

いや、
１．９９９９９９と９が永遠に続く数になる。

次に萬・億・兆と続いて
最後は無量大数という言い方あり。

では1億１といういい方はあるが、

壹無量大数＋壹＝壹無料大数壹

という計算式で考える数があるかどうかです。

この回答へのお礼

★　～～～
では1億１といういい方はあるが、

壹無量大数＋壹＝壹無料大数壹

という計算式で考える数があるか
～～～
☆　むろん　あります。∞＋１ の記号式がそれらの数をそれぞれ表わしています。



★　～～～
１を０．９９９９９９・・・
として表現する方法あり。
～～～
☆　この無限小数は：
★　この０のとなりの９の数は無限ですね。
☆　というかたちで　その《限りなくつづく》無限は　《可能無限》ですね。

《有限の数の領域にあって　限りなくつづくさま》が　可能無限です。

そして　その限りなくつづくさまが　面倒なので：

　　０．９９９９９９・・・＝１

というふうに　実際の――実務的な――扱い方では　近似値を採用する場合があるようです。これが　《実無限》とよぶ扱い方だと思います。

みな　《有限の領域》に属します。



《真無限》は　まったくこれらとは別です。

お礼日時：2022/03/22 03:38

No.5 回答者： hiroparty1 回答日時： 2022/03/21 22:20

質問者の方の理論委は矛盾があります。

「∞（無限大）まで来たとしても」とかかれていますが無限大に到達したら、そこは無限大ではありません。有限な値です。従って「つまり　無限大は　一定のあたいを採っており　有限の数だ」としたところが誤りです。有限と無限を自分の思考の都合の良いように使い分けているということです。その間の理論破綻をつなぐ言葉として「つまり」という表現を使っています。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。


★　「∞（無限大）まで来たとしても」とかかれていますが無限大に到達したら、そこは無限大ではありません。
☆　一たん仮りに最後の数だとすると　という意味です。たしかに　無限大という数が　限りなく次から次へつづきます。


★　有限な値です。
☆　ええ。そのとおりです。一たん決めたら　その無限大なる数は　一定の数となり　有限の値です。


★　従って「つまり　無限大は　一定のあたいを採っており　有限の数だ」としたところが誤りです。
☆　ん？


★　有限と無限を自分の思考の都合の良いように使い分けているということです。その間の理論破綻をつなぐ言葉として「つまり」という表現を使っています。
☆　その《つまり》は　たしかに《仮りに最後の数だとして取り出したとすると》です。

言いかえると　この《仮りに最後だとすると》という仮定が　これまた限りなくどこまでもあらたにつづきます。

つまりそのときの無限大のあたいが　∞＋１　そしてまた ∞＋１＋１・・・といったように　やはり限りなくつづきます。

問題は　そのように１を足してつづくどの無限大という数も　そのつど一定のあたいを取り　有限の数だと決まることです。

限りなく有限の数が　つづきます。どこまで行っても　有限の数です。

お礼日時：2022/03/21 22:34

No.4 回答者： sakuratojoruri 回答日時： 2022/03/21 22:14

無限大とはｔan９０°の値を求めるようなものでしょうね。

分子を１にして分母を0にした時の値はいくつとか
そういうふうなものを数値で求めるとどうなるか。

これすなわち∞。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。


０ では割れないですよね。

お礼日時：2022/03/21 22:22

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/03/21 21:31

＞１，２，３，・・・∞（＝１００）だとした場合

100 は ∞ ではありません！！
先ほど書いたように ∞ は数ではありません。

この回答へのお礼

では　１００のあとに　０をいくつつけ添えれば　無限大という一定の数だとみとめますか？

１００を出したのは　むろんタトへです。

お礼日時：2022/03/21 21:35