テンソル ひずみのマトリクス表記

連続体力学を学び始めて間もない者です。ひずみテンソルと総和規約について質問があります。
教科書にはE=［εij]=[εxx εxy εxz ]
[ εyx εyy εyz]
[εzx εzy εzz]
とあります(実際は3×3平方行列です)。上式が表現行列ということは分かりましたが、その基底がわかりません。E=εij (ei ⊗ej) から、(ex ⊗ex), (ex⊗ey), (ex ⊗ez)… (ez⊗ez)と9個の基底が出て来てうまく基底を考えられませんでした。初歩的な質問で申し訳ありませんがどうかよろしくお願いします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/24 17:41

＞ 上式が表現行列ということは分かりましたが、その基底がわかりません。

そりゃまあ、線形写像を行列表現するためには、
定義域と終域に基底を設定しなけりゃならないんですが...

＞ と9個の基底が出て来て

それは違うでしょう？
表現行列が 3×3行列なら、定義域と終域がそれぞれ 3次元の線形空間だから、
3次元の基底 2組を置かなくてはならず、出てくる基底ベクトルは 6個です。

「その基底」とは、どの空間の基底のことを考えたいのでしょうか？

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2022/04/24 09:48

No.1 です。

そうそう，応力テンソルは，法線ベクトルから表面力ベクトルへの写像だと呼ぶ，とても賢い先生達を何人か知っていますが，だから何？と思ったりしたのでした。テンソルは物理量なんだから，物理的な意味がわかる方が大事ではないでしょうか，という教え方をしてもう 30 年。

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2022/04/24 09:46

30 年以上連続体力学を教えていて，そういうことを考えたことがありませんでした。

なにしろ，大学１年生のときの線形代数（必修）は不合格だったくらいなので。さて，本当に表現行列なのでしょうか？　そこが僕には理解できません。ひずみテンソル成分を行列表示するのは構いませんが，それが何かの写像になっている・・・と考えたことは一度もなかったからです。多分僕の線形代数の理解度が低いからでしょうね。
　あくまでも行列表示は簡便なものだという意識です。あるいは，基底に相当するような主方向ベクトル N_n 三つで構成した行列 N を使えば，２階のテンソルはスペクトル表記（あくまでも表記）ができて
ε = N^T e N = Σ e_n N_n ⊗ N_n
と書けます。e は主ひずみを対角項に持つ対角行列です。これはよく使う便利な表記ですけどね。ま，線形代数の，行列の対角化のところの流用です。基底というのを考えないといけませんか？初歩的な回答でごめんなさい。