円周算出の公式について

Question

中１の子供を持つ親です。春休みの宿題で円周の求め方を「２π×半径」と表示している課題がありました。我々の時代は「直径×円周率（π）」と理解していたのですが、現在はこういう考え方もあるのでしょうか。

shkwta · Accepted Answer

時代の違いではなく、発達段階に応じて教え方を変えているということだと思います。
小学校では、円周率を　円周と直径の比として導入しますから、当然最初は　円周＝円周率×直径　と教えます。

先に進んで弧度法や三角関数を使うときは半径を使用したほうが便利なので、その準備として　円周＝２×円周率×半径　の公式を教えるということでしょう。

どちらで覚えるかにこだわるより、どちらでも同じであることを理解する必要があります。

kansai_daisuki · Answer

「２×π×半径」は、

１：「（２π）×半径」とみれば、
「中心角×半径」から来ていると思います。

　これは、「円周(2πr)÷半径(r)＝中心角(2π)」が弧度法における中心角の定義であるたため、理に適っています。

２：「π×（２×半径）」とみれば、
「円周率×直径」から来ていると思います。

　これは、「円周(2πr)÷直径(2r)＝円周率(π)」が、そもそもの円周（の直径に対する）”率”であることからも当然であるといえます。


以上から：
　両方の概念を知ってることがベータですが、どちらか一方が使えれば良いのでは？
（もう一方は一方と表裏一体の考え方だし）

musubime · Answer

No.6 さんでおそらく納得されていると思いますが，
おまけで．
円周率の定義の視点にたてば直径を円周率倍すれば円周の長さになるということですからtanino18 さんの理解になります．
一方ラジアンの定義の視点に立てばこれは半径１の円弧の長さを角度としたわけで，すれば円周の長さは一周分の角度２π になりますね．
すると半径 r の円の円周の長さであれば，r 倍すればよし，ということになります．
どちらの視点に立つかで変わりますが，同じものをいくつかの見方で見ると，一方では気づかなかった疑問がわいたりしてより理解が深まると思いますが，習う方からしてみたら混乱するだけという難点もあります．ですから教える人がそこら辺を認識して助けてあげることが大切でしょう．
まあ割と気にしませんが，円周の長さが直径（もしくは半径）をある数（円周率）倍すればよい，即ち円周の直径に対する比が常に一定というのは改めて見るとびっくりといえばびっくりですよね．

adinat · Answer

どちらが主流でとか、中学の学習指導要領について知っていたり、どうこうというわけでもないですが、統一させる方がわかりやすいということもありますが、No.4さんもおっしゃるように両方とも同じということは理解すべきだと思います。

どちらの表記も合理的なのです。半径1の円の円周は2πです。高校では360°をラジアン単位で2πと教えられますから2π×半径というのはこの意味で合理的であるわけです。一方πの定義は、円周と直径の比でしたので、その意味で直径×πというのも合理的です。そして両者は同じであるわけです。中学1年生で文字と式というものを習うと思います。式変形を通じて、一見異なる式が実は同じものを表わすということが理解できるというのは、少し抽象論を使うから難しい生徒さんもいらっしゃると思いますが、やはり避けては通れないところです。

それから幾何分野でいろいろな証明をそのうち行うようになります。たとえば、「2組の互いに向かい合う辺が平行である」ということと「互いに向かい合う角の大きさが等しい」というのは同じこと（同値）ということを証明したりします。普通前者は平行四辺形の定義ですが、どちらもまったく同じことを言っているのだから後者を定義としてもよいのです。「平行四辺形」という名前から前者が定義だとするほうがこの場合合理的に思えますが、しかしどちらもまったく同じ図形を指すわけですから、後者が定義であっていけない理由はない。そしてどちらも同じこと、ということから、平行四辺形の互いに向かい合う辺は平行、という性質が出てくるのです。

もうひとつ例を挙げます。正三角形とは、すべての辺が等しい三角形といってもよいですが、すべての角が等しい（すなわち全部60°）である三角形といってもよい。どちらか1つの性質だけで三角形は正三角形以外になりえません。そしてそのとき他方の性質も自動的に出てきます。だからどちらの定義もまったく同じで、一方の定義から他方の定義が出てくるわけです。

いずれこれと似たような感じのことはたくさん習われると思います。そういう意味で二つの表記が同じだ、ということを論理的に理解することは大変重要なことだと僕は思います。

ahoo#2 · Answer

＞現在はこういう考え方もあるのでしょうか。
ここの文章がどうも気になります。

小学校では　円周＝直径ｘ３．１４
中学では　　円周＝？　　（２０年前は）
高校では　　円周＝２πｒ
中学で２０年前どう教えられていたかという質問ですよね。

1fan9 · Answer

最近ではそう習うのですか。
多分、円の面積とごっちゃになりにくいよう、そうしたんじゃないですか…？
両方半径を使って統一すると間違いが少なくなる気がしますから…。
半径を2回掛ける方が円の面積、2を半径に掛ける方が円周という感じで覚えやすそうです。

quads · Answer

回答内容があまり変わりませんが…。

「直径×円周率」で円周ですね。
直径＝半径×２
半径をｒとすると、直径＝２ｒ
円周率をπとすると円周は「２ｒ×π」ですが、変数は後に書く習慣があるので「２πｒ」として、ｒは半径なので円周＝「２π×半径」という表記に至ったのかもしれません。

間違ってはいませんが「円周率を２倍したものに半径を掛ける」という考えではないので、理解されていれば問題ないと思います。
中１で使ったかは忘れましたが、普通は「２πｒ」です。

takus69 · Answer

半径をrとすると直径は2rとなり、「直径（2r）×π」も「2π×半径（r）」も同じであることは解っていますよね。
どちらも同じ意味で書き方を変えただけなので、どちらで覚えても問題はありません。
私も「直径×π」で教えられた気がします。

ただ円などの計算をする場合半径を使う場合が多いので、半径を元にした計算で覚えておいた方が後々楽かもしれません。
おそらく学校では、「2π×半径」で教えられたのでしょうから、課題にある通り覚えさせてしまえばよいのではないでしょうか。

円周算出の公式について

時代の違いではなく、発達段階に応じて教え方を変えているということだと思います。

「２×π×半径」は、

No.6 さんでおそらく納得されていると思いますが，

＞現在はこういう考え方もあるのでしょうか。

最近ではそう習うのですか。

回答内容があまり変わりませんが…。

半径をrとすると直径は2rとなり、「直径（2r）×π」も「2π×半径（r）」も同じであることは解っていますよね。

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