円錐の切り口について

円錐を切断して、その切断面を見ると楕円になるときがありますがなぜ円錐の切断面が楕円になるのかということを高校までの数学の範囲で証明するにはどのようにすればよいのですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： ryn 回答日時： 2003/01/23 23:19

xyz直交座標で円錐の頂点を原点、頂角をθ、中心軸をz軸になるようにとると

高さｚでのｘｙ平面に平行な切り口の円の半径が z*tanθ になるので、
円錐を表す式は
　x^2 + y^2 = z^2*(tanθ)^2
となります。

ここで、この円錐を座標(0,0,z0)を通る平面
　z - z0 = a*x　　　　（z0,a は正の定数）
で切った断面を考えて見ます。
回転対称性などから考えると一般性は失ってないはずです。

したがって、これらの式からｚを消去すると
　x^2 + y^2 = (a*x + z0)^2*(tanθ)^2
⇔{1-a^2*(tanθ)^2}x^2 - 2a*z0*(tanθ)^2*x + y^2 = (z0*tanθ)^2
となり、

a=0(ｘｙ平面に平行な平面)のとき
　x^2 + y^2 = (z0*tanθ)^2
となり円を

1-a^2*(tanθ)^2 = 0
つまり、tanθ = 1/a(円錐の母線と平行な平面)のとき
　- 2a*z0*(tanθ)^2*x + y^2 = (z0*tanθ)^2
となり放物線を

1-a^2*(tanθ)^2 ≠ 0　のときは楕円を表すことがわかります。


ただし、これはｚの情報を消しているので
断面を真上から見てｘｙ平面に射影したものになっています。
ここで、切断した平面の傾きが a (≡tanφ)となっているので
a = 0 の円のとき以外はｘ方向を 1/cosφ 倍して
元に戻してやればよいのではないでしょうか。


どこかに不備がありそうな気もするのでご参考までに。

No.8 回答者： good777 回答日時： 2003/01/24 18:15

「円錐」を等高線で表し、「包丁の軌跡」もとう光線で表した図をかいてみましょう。

No.7 回答者： good777 回答日時： 2003/01/24 15:51

>基本的なこと聞いて済みません。

>楕円ということを説明する際に長さが異なるということが言えれば、楕円といってしまって言いのですか？
>焦点距離が等しいとかはいらないんですか？
>本当にしょうも無いこと聞いてすみません。

半径1の円
xx+yy=1
を横にa倍、たてにｂ倍すると、

(ｘｘ/aa)+(yy/bb)=1

になる。円を引っ張れば楕円になる。

ただし、＃4は間違っています。

長い方の直径？はあっていますが、短い方の直径？はもう少し手前になります。
いずれにしろ、もちろん楕円になります。

懐中電灯で、放物線も作ってみましょう。

No.6 回答者： good777 回答日時： 2003/01/24 15:19

点光源を一部覆って、光を円錐上に出す。

懐中電灯の光は大体円錐だよね。それを斜めに床に当てると、
ほら，楕円形ができるじゃん。

小学生にも分かると思う。

この回答への補足

できることの証明としてはとてもわかりやすいと思いました。
しかし今回は文字や計算式を用いて証明をしたいのです。
＃４を変更するにはどこをどのようにしたよいのですか？

補足日時：2003/01/24 16:17

No.4 回答者： good777 回答日時： 2003/01/23 22:40

---■準備■---------------------------------------------------------------------------

A（1、1、2）、B（1、-1,2）、C（-1、-1、2）、D（-1、1、2）
E（1，１，0）、F（1、-1,0）、F（-1、-1、0）、G（-1、1、0）

としたとき、ABCD-EFGHは1辺２の立方体になる。

頂点（0、0、2）、底面「ｘｘ+ｙｙ＝1、ｚ＝0」の円錐を「円錐」と呼び、
面ABFGを「包丁の軌跡」と呼ぶことにする。

ここで、「ｘｘ」とは普通「ｘの2乗」とか「ｘ＾2」とか書かれるものである。
「ｙｙ」も同様。
---------------------------------------------------------------------------------------


さて、
「平面ｘ＝0」（ｙｚ平面）で、「円錐」や「包丁の軌跡」をきったときの切り口は
を考えると、「円錐」と「包丁の軌跡」の交わりは、2点（0、-1/2,1）（0、1/2,1）を両端とす
る線分

「平面ｙ＝0」（ｘｚ平面）で、「円錐」や「包丁の軌跡」をきったときの切り口は
を考えると、「円錐」と「包丁の軌跡」の交わりは、2点（-1，0,0）（1/3，0，4/3）を両端とす
る線分

この長さは異なる。よって、楕円である。

この回答への補足

基本的なこと聞いて済みません。
楕円ということを説明する際に長さが異なるということが言えれば、楕円といってしまって言いのですか？
焦点距離が等しいとかはいらないんですか？
本当にしょうも無いこと聞いてすみません。

補足日時：2003/01/24 01:26

No.3 回答者： ebinamori 回答日時： 2003/01/23 18:45

前の回答なんでもないです。

上から見て円に見えるって一体どこからそう思ったんだか。

No.2 回答者： ebinamori 回答日時： 2003/01/23 15:14

思いついたままを書きます。

（こじつけというのかも）
底面に対して平行に切断しても斜めに切断しても
真上から見たらどちらも円に見えますよね。
斜めに切断した円錐を真上から見たときの円の半径をｒとすると
切断面において切断方向に対して垂直で中心を通る線分ＡＢ（楕円の短い方）は２ｒと一致しますよね。
切断面の切断方向に平行で中心を通る線分ＣＤ（楕円の長い方）とすると
今度は円錐の真横から見るとどちらかに傾いた線分が見えますよね。（線分ＣＤと一致）
上の方をＣとするとＣから底面に平行な線を引きＤから底面から垂直な線を引いた時の交点をＰとすると三角形ＣＰＤは垂直三角形ですよね
それでＣＰは２ｒであるからＣＤを一致するわけがない。

これで少なくとも円ではないという事は分ったと思うのですが。

No.1 回答者： rei00 回答日時： 2003/01/23 14:43

　高校までの数学の範囲かどうか分かりませんが，参考 URL の説明はいかがでしょうか。

　　◎ 円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）

　ご参考まで。

参考URL：http://www2u.biglobe.ne.jp/~toshio_s/Topics/Coni …