3次元空間の軌跡の問題です。

平面z=1上に点Ｑがあり、平面z=2上に点Ｐがある。直線ＰＱとｘｙ平面の交点をＲとする。

１、点Ｑが平面z=1上で点（0,0,1)を中心とする半径1の円周上を動く。点Ｐの座標は（0,0,2)である。点Ｒの軌跡を求めよ。

２、平面ｚ＝1上に４点A(1,1,1,) B(1,-1,1) C(-1,-1,1) D(-1,1,1)をとる。
点Ｐが平面ｚ＝2上で点（0,0,2)を中心とする半径1の円周上を動き、点Ｑが正方形ＡＢＣD上の周上を動く時、点Ｒが動きうる面積を求めよ。

導出方法まで丁寧に教えていただけるとありがたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/08/17 05:13

とりあえず1だけ

１
P(0,0,2), Q(X,Y,1), R(x,y,0)とおくと
　X^2+Y^2=1 …(※1)
　x=2X, y=2Y …(※2)

(※2)より
　X=x/2, Y=y/2

（※1）に代入
　(x/2)^2+(y/2)^2=1
∴x^2+y^2=4

（答）　(0,0,0)を中心とするz=0平面上の半径2の円：x^2+y^2=4 (z=0)

この回答へのお礼

ありがとうございます。理解できました。
3次元の問題は初めてでしたので、円の式も3次元なのかと難しく考えていました。

問題2に取りかかろうと思います。

お礼日時：2014/08/17 14:14

No.3 回答者： info222_ 回答日時： 2014/08/17 06:45

No.2です。

続いて
２

点P(X,Y,2):　X^2+Y^2=1
点Q(u,v,1):　AB,CD: |u|=1(|v|≦1), BC,DA: |v|=1(|u|≦1)
点R(x,y,0): u-X=x-u, v-Y=y-v

X=2u-x, Y=2v-y
(2u-x)^2+(2v-y)^2=1

AB,CD⇒ (x±2)^2+(y-2v)^2=1 (-1≦v≦1)
BC,DA⇒ (x-2u)^2+(y±2)^2=1 (-1≦u≦1)
この領域を図示できますね。
図示すると、求めるRの領域の面積Sは、対称性からx≧0,　y≧0の領域の面積を求め
4倍すればよい。

　S=4[3*3-1*1-(1*1-1*1*π/4)]=28+π　…(答)
　（πは円周率）

分からなければその部分だけ途中計算を書いて具体的に質問してください。

No.1 回答者： High_Score 回答日時： 2014/08/17 04:14

まず自分で解いてみてどこまでわかって、何処が分からないのか明確にすると、説明を読んだ時にきちんと理解出来るし、回答する側としても書きやすいものです。