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よく問題をやっているときに「単調増加関数」とか、「増加関数」なるものが出てきて、それが問題の解法に重要に絡んでいる事があるのですが、一体「単調増加関数」とか、「増加関数」や「減少関数」というのは、どういう意味なのでしょうか?

予想では、関数f(x)の微分値f'(x)が0より大きければ増加関数なのだと思いますが、自信もないしそれだけでは単調増加関数の説明ができません。

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A 回答 (4件)

実数上で定義された関数f(x)が単調増加



  <==> 任意の実数x,y, x<y に対して f(x)<
f(y) が成り立つ。

 これが定義のはずです。微分可能性はもちろん、連続性も仮定しません。もし微分可能なら f'(x)>0, xは任意の実数、となります。
 実数を開区間で置き換えてもいいです。

頑張ってください。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2005/03/27 17:10

任意のx1、x2に対して


x1 < x2 のとき f(x1) < f(x2) が成立する時、「単調増加関数」
x1 <= x2 のとき f(x1) <= f(x2) が成立する時、「増加関数」
x1 <= x2 のとき f(x1) >= f(x2) が成立する時、「現象関数」

ですね。これなら言葉の説明が付きますでしょ。で、結論として単調増加関数を微分した場合
( f(x2)-f(x1) ) / ( x2 - x1 )
が、いくらx2-x1が限りなく0に近づいても、x1<x2を満たす全ての場合について正の値を取るのは上の定義から明らかですよね。
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この回答へのお礼

よくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2005/03/27 17:09

単調増加と増加は同じ意味(単に単調を略しているだけ)のようです。



参考URL:http://www.ne.jp/asahi/search-center/internation …
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この回答へのお礼

そうなんですか。
参考になりました。

お礼日時:2005/03/27 17:07

知りうる限りの定義を書くと



実関数f(x)が単調増加-----f(x)≦f(y) if x≦y
実関数f(x)が狭義単調増加-----f(x)<f(y) if x<y

です。多分これが標準的な定義だと思います。ちなみに普通は微分可能性(連続性ですら)は定義に含めません。
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●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
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下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
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正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
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まず、自己補足。
文脈から判断すると、「条件」という言葉は「十分条件」の意味で
用いられていると判断するのが妥当。

ただ、(0,1)で導関数が非負であることだけで、[0,1]で単調増加といえないことは
先の反例のとおり。
(0,1)で導関数f’(x)≧0 に加え
[0,1]でfが連続 とかいった隠れた条件があるとのではないかというのが推測。


もとより、導関数の存在等は単調増加であることの必要条件ではない(不連続関数で単調増加のものがあるから)ので、文脈上「条件」が「必要十分条件」とはならないことは自明でした。

以上、自己補足

---
???
  誤解のないよう追記。
 「連続関数で」「両端を除く開区間で f'>0 が必要十分です」は「≧」では?

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  この単調増加は、狭義単調増加。

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  x<y ⇒ f(x)≦f(y) が広義単調増加 が定義。
  (x=y ⇒ f(x)=f(y) はいうまでもないことじゃないですか・・)

  

#3です。

まず、自己補足。
文脈から判断すると、「条件」という言葉は「十分条件」の意味で
用いられていると判断するのが妥当。

ただ、(0,1)で導関数が非負であることだけで、[0,1]で単調増加といえないことは
先の反例のとおり。
(0,1)で導関数f’(x)≧0 に加え
[0,1]でfが連続 とかいった隠れた条件があるとのではないかというのが推測。


もとより、導関数の存在等は単調増加であることの必要条件ではない(不連続関数で単調増加のものがあるから)ので、文脈上「条件」が「必要十...続きを読む

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>同じ側にあるときは、f(x)とg(x)は接しており、
>反対側にあるときは、f(x)とg(x)は交わっている。

これもだめだと思う.
例えばy=x^3とy=0のケースをどうしますか?
これは普通接するというと思う.
もっといやらしい例だと
y^2=x^3とx=0またはy=0のケースだと
もう直観は働かない.
x^3-x^2-y^2=0とx=0なんかも,接する?交わる?
ということになります.

なお,「同じ側」っていうのも実際はかなり微妙で
もとの質問からははずれるけども,
3次元空間で二つの曲線を考えた場合「同じ側」ってのは
判断できないわけです.

で,どうするかってことですが,一つの一般的な手は
「接する」「交わる」ってのを全部ひっくるめて
「点を共有する」ということにしてしまいます.
そして,その共有点を求めるときに
方程式を解きますが,その解の重複度を,
その点での「交点数」と名づけます.
この交点数が1より大きい場合を
「ばっさり」接するとして
1のときを交わると定義してしまう.
こういう流儀もあります.

実際はこの定義だと大雑把すぎる
特にx^3-x^2-y^2=0とx=0のようなケースに対しては
ちょっと問題ありなのですが,このようなケースに対しては
もっと厄介な議論が必要なので割愛します.

実際問題,結構厄介なんです.
交わるとか接するってのは.

>同じ側にあるときは、f(x)とg(x)は接しており、
>反対側にあるときは、f(x)とg(x)は交わっている。

これもだめだと思う.
例えばy=x^3とy=0のケースをどうしますか?
これは普通接するというと思う.
もっといやらしい例だと
y^2=x^3とx=0またはy=0のケースだと
もう直観は働かない.
x^3-x^2-y^2=0とx=0なんかも,接する?交わる?
ということになります.

なお,「同じ側」っていうのも実際はかなり微妙で
もとの質問からははずれるけども,
3次元空間で二つの曲線を考えた場合「同じ側」って...続きを読む


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