画像の質問に答えて頂けないでしょうか？ どうかよろしくお願い致します。

画像の質問に答えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 補足で申し訳ありません。
  
  
  「i)
  0<r<2
  C={z||z-1|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  z=1は1位の特異点だから
  ...
  ∴
  a(n)=-1/(-2)^(n+2)」
  に関して、
  特異点z=1の時|z-1|=rは|1-1|=rとなりr=0と導けます。r=0はrの範囲である0<r<2に入らないと思うのですが...なぜ特異点z=1の時、rは0<r<2の範囲に入らないのに式が展開できるのでしょうか？

    補足日時：2022/05/31 14:11

• すいません。質問を編集致しました。
  
  >> 展開できるのは
  0<r<2
  z∈C={z||z-1|=r}
  の時
  0<|z-1|<2
  の時
  式が展開できるのです
  
  ですが、
  「i)
  a=1
  0<r<2
  C={z||z-a|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
  n≧-1の時
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|=rの時、z=1でn+2位の極を持つから
  a(n)
  =Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
  ={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
  =-1/(-2)^(n+2)」
  より、z=1の時は|z-1|=r
  |1-1|=r r=0となりますが、
  r=0は0<r<2の範囲に含まれませんが、なぜa(n)が導けたのでしょうか？

    補足日時：2022/06/01 18:06

• なぜ(z-1)^0の項の係数はa(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項の係数a(n)となるのですか？
  
  どうかわかりやすく教えて頂きたいです。
  
  特に「a(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項」の部分が何を言いたいのか良くわかりませんでした。

    補足日時：2022/06/03 08:30

No.15 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/03 20:02

i)

0<|z-1|<2
で

f(z)=1/(z^2-1)
は
z=1で1位の特異点を持つから

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
と展開される
↓両辺に(z-1)をかけると

(z-1)f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)

↓(z-1)f(z)=1/(z+1)だから

1/(z+1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)

1/(z+1)=a(-1)+a(0)(z-1)+a(1)(z-1)^2+…+a(n)(z-1)^(n+1)+…

↓両辺をn+1回微分すると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{k=n+1～∞}(k+1)!a(k)(z-1)^(k-n)

↓z→1とすると

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)

↓両辺を(n+1)!で割ると

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)

∴

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

1/(z+1)
↓微分すると(1回目)
-1/(z+1)^2
↓微分すると(2回目)
2/(z+1)^3
↓微分すると(3回目)
-3!/(z+1)^4
…
↓微分すると(n+1回目)

(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
だから

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/2^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)(-1)(-1)^(n+1)/2^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)(-1)^(n+2)/2^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)(-1/2)^(n+2)
∴
a(n)=lim_{z→1}-1/(-2)^(n+2)

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/03 19:22

訂正です

「
(z-1)^0の項の係数はa(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項の係数a(n)
」
ではなく
「
g(z)の(z-1)^0の項の係数はa(-1)=f(z)の(z-1)^(-1)の項の係数a(-1)
…
g(z)の(z-1)^(n+1)の項の係数はa(n)=f(z)の(z-1)^nの項の係数a(n)
」
でした

0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)

f(z)=a(-1)/(z-1)+a(0)+a(1)(z-1)+…+a(n)(z-1)^n+…

g(z)=(z-1)f(z)=a(-1)+a(0)(z-1)+a(1)(z-1)^2+…+a(n)(z-1)^(n+1)+…

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/03 11:29

0<r<2

C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)

f(z)=a(-1)/(z-1)+a(0)+a(1)(z-1)+…+a(n)(z-1)^n+…
の
(z-1)^(-1)の係数a(-1)は

g(z)=(z-1)f(z)=a(-1)+a(0)(z-1)+a(1)(z-1)^2+…+a(n)(z-1)^(n+1)+…
の
定数項a(-1)
に
等しく

g(1)=a(-1)だから
g(1)
に等しい

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/03 06:07

|z-1|=rにz=1を代入するのでありません

|z-1|=r>0を0に近い正の値のまま0に近づけるのです
r=0となりません
r=0とならないのだけれども

g(z)=(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則連続だから

zを1に近づけるとg(z)はg(1)に近づくのです

g(z)がg(1)に近づくのだから

r>0の範囲での
f(z)の(z-1)^(-1)の係数=g(z)の定数係数a(-1)は
g(1)に一致するのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

すいません。「r>0の範囲での
f(z)の(z-1)^(-1)の係数=g(z)の定数係数a(-1)は
g(1)に一致するのです」について、申し訳無いのですがもう少しわかりやすい文章にしていただけないでしょうか？また、一致するまでをわかりやすく過程の計算を踏まえて教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/06/03 08:38

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 20:19

0<r<2

C={z||z-1|=r}
なのです
f(z)=1/(z^2-1)

a(n)
=∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dx
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)

の1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1で正則でなく
0<r<2
C={z||z-1|=r}
なのです

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

の
1/(z+1)はz=1で正則で展開できるけれども
この場合は
r=0としているのではありません
rを使っているのではありません
rは必要ないのです

f(z)の展開にはrが必要だけれども
g(z)の展開にはrは必要ないのです

z=1で正則で展開できるg(z)の(z-1)^(n+1)の項の係数a(n)
が
z=1で正則でないf(z)の(z-1)^nの項の係数a(n)に一致する
ことを利用して
a(n)を求めているのです

この回答へのお礼

>> 「z=1で正則で展開できるg(z)の(z-1)^(n+1)の項の係数a(n)
が
z=1で正則でないf(z)の(z-1)^nの項の係数a(n)に一致する
ことを利用して
a(n)を求めているのです」

要は以前に何度も書いて頂いたようなやり方でa(n)を求めれば良いわけでしょうか？


また、
「(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できて
(z-1)f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
の
(z-1)^0の項の係数a(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項の係数a(n)
となるのです」
の「(z-1)^0の項の係数a(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項の係数a(n)
となるのです」の部分について、申し訳ないのですが、何を言っているのかわかりませんでした。もう少しわかりやすく教えていただけないでしょうか？

お礼日時：2022/06/03 08:15

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 19:53

rは

0<r<1
なのです
r=0にはなりません

g(z)=(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できるけれども
g(z)の場合のzとrは関係ありません
r=0としているのではありません

r
は
あくまで
0<r<1
f(z)のzに対してのr=r_fなのです
f(z)の
zの範囲は0<|z-1|<2なのだけれども

z→1の時は
g(z)のzに対して行うのです
rは
g(z)のzとは関係ありません

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 19:28

f(z)=1/(z^2-1)

は
z=1で正則ではないから展開できないけれども
0<|z-1|<2で
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

g(z)=(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できるのです

g(z)=(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できて
g(z)=(z-1)f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
の
g(z)の(z-1)^(n+1)の項の係数a(n)=f(z)の(z-1)^nの項の係数a(n)
となるのです
だから
z=1で正則で展開できるg(z)の(z-1)^(n+1)の項の係数a(n)を求めれば
そのa(n)が
z=1で正則でないf(z)の(z-1)^nの項の係数a(n)に一致するのです
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
の1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1で正則でないけれども
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
の1/(z+1)はz=1で正則だから

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、
g(z)=(z-1)f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)の(z-1)f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)の式にf(z)=1/(z^2-1)を代入して
a(n)=としてn≧-1の時z=1の時の
a(n)=-1/(-2)^(n+2)と導けるでしょうか？

もし導けるならば導くまでの過程の式を教えてください。

お礼日時：2022/06/03 02:31

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 04:01

f(z)=1/(z^2-1)

は
z=1で正則ではないから展開できないけれども
0<|z-1|<2で
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できるのです

(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できて
(z-1)f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
の
(z-1)^0の項の係数a(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項の係数a(n)
となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「0<|z-1|<2で
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できるのです」
に関して、
|z-1|=rであり、z=1の時に特異点を持つため、
|z-1|=rにz=1を代入して、|1-1|=r
r=0となりますよね？

この時rの範囲は0<|z-1|<2であるため、(z→1ではなく、)z=1の時に導かれたr=0は範囲外になると思うのですが、なぜrの範囲に入るのでしょうか？

お礼日時：2022/06/02 19:41

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 03:47

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

の
z→1
は
z=1の意味ではありません
0<|z-1|<r
の
zを1に近づけると|z-1|はどんなに小さな正の値をとるけれども
決してz=1にはならないように近づけるのです
zを1に近づけると

g(z)=1/(z+1)
(d/dz)^(n+1){g(z)}=g^(n+1)(z)
は
連続だから

(d/dz)^(n+1)_{z=1}{1/(z+1)}=g^(n+1)(1)
に
近づくのです

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 03:38

i)

特異点z=1の時、rは0<r<2の範囲に入らない
特異点z=-1の時、rは0<r<2の範囲に入らない
から
式は展開できません
式が
展開できるのは
0<r<2
z∈C={z||z-1|=r}
の時
0<|z-1|<2
の時
式
f(z)=1/(z^2-1)
が
Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
と
展開できるのです
z=1では展開できないのです
z=-1では展開できないのです