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f : ℝ→ℝ が微分可能で一様連続のとき、導関数 f' は ℝ で有界であるといえますか?

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A 回答 (7件)

x≦0の時 f(x)=0


0<x≦1の時 f(x)=(x^2)sin(π/(2x^2))
x>1の時 f(x)=2x-1
とする

lim_{x→+0}(x^2)sin(π/(2x^2))=0=f(0)
だから

f(x)はx=0で連続

lim_{x→1-0}(x^2)sin(π/(2x^2))=1=lim_{x→1+0}2x-1
だから

f(x)はx=1で連続
だから
f(x)は連続
閉区間[0,1]でf(x)は連続だから
f(x)は[0,1]で一様連続
x≦0で一様連続
x≧1で一様連続
だから
f(x)は一様連続

x<0の時 f'(x)=0

f'-(0)=lim_{h→-0}{f(h)-f(0)}/h=0

f'+(0)
=lim_{h→+0}{f(h)-f(0)}/h
=lim_{h→+0}{(h^2)sin(π/(2h^2))}/h
=lim_{h→+0}hsin(π/(2h^2))
=0
だから
f'(0)=0

0<x<1の時
f'(x)=2xsin(π/(2x^2))-(π/x)cos(π/(2x^2))

f'-(1)=2

f'+(1)
=lim_{h→+0}{f(1+h)-f(1)}/h
=lim_{h→+0}{2(1+h)-1-1}/h
=lim_{h→+0}2h/h
=2
だから
f'(1)=2

x>1の時 f'(x)=2
だから
f(x)は微分可能

0<x<1の時
f'(x)=2xsin(π/(2x^2))-(π/x)cos(π/(2x^2))
だから
lim_{x→+0}f'(x)=±∞
だから
導関数f'(x)は有界でない
f'(0)=0だから
導関数f'(x)はx=0で不連続
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この回答へのお礼

あなたに会えてよかった

なるほど!!
ありがとうございました。

お礼日時:2022/07/04 19:56

No.4さん、


一様連続性をR上で満たす関数
一般の一次関数がそうですよね。
ただこれではもとの質問の答えになっていない。
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f(x)=ax+b


とすると

任意のε>0
に対して
δ=ε/(1+|a|+ε)
とすると
|t-x|<δ となる任意のt,xに対して

|f(t)-f(x)|
=|at+b-ax-b|
=|a(t-x)|
≦|a|δ
=|a|ε/(1+|a|+ε)

だから

f(x)=ax+bは一様連続
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No3さん証明ありがとうございます。

「一様連続」のWiki
にf(x)=x^2は連続だが、一様連続でない例としてあがっていましたね。そうすると、一様連続性をR上で満たす関数は(少なくともx^2や1/xのような意味での単純な関数)は見つけるのが容易でないということでしょうか?数学書にそうした例がでているのは見たことはありません。
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任意のε>0


に対して
あるδ>0が存在して
|t-x|<δ となる任意のt,xに対して
|f(t)-f(x)|<ε

なる時
fは一様連続という

f(x)=x^2
とすると

任意のδ>0に対して
x>1/δとなる
xがある
t=x+1/x
とすると
|t-x|=1/x<δ

|t^2-x^2|
=|(x+1/x)^2-x^2|
=2+1/x^2
>2

だから
f(x)=x^2は一様連続ではない
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>一体どのような教育を受けるとこのような愚かなことを平気で書けるようになるのか知りたいので、簡単にでいいので教えていただけませんか?



間違っていますか?この命題「f:R→Rは微分可能で一様連続のとき、導関数f'はRで有界である」は正しくないので、シンプルな反例を一つあげたのです。正しいなら、命題を証明しなくてはならないが、正しくないなら、反例を一つあげればよいのです。違いますか?
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この回答へのお礼

どう思う?

反例をあげたいのであれば、少なくとも
f : ℝ→ℝ が微分可能で一様連続
をみたすものでないといけないのでは?

お礼日時:2022/07/03 21:47

いいえ。


f(x)=x^2を考えてごらん。f'(x)=2xは上にも下にも有界でないでしょう!
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この回答へのお礼

がんばります

> f(x)=x^2を考えてごらん。f'(x)=2xは上にも下にも有界でないでしょう!


一体どのような教育を受けるとこのような愚かなことを平気で書けるようになるのか知りたいので、簡単にでいいので教えていただけませんか?
本当に、信じられないような変なことばかり書く回答者が多くて困っているので、参考にしたいです。

お礼日時:2022/07/03 21:30

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