No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1) あってる。
被積分関数の極は z = 0, 1 で、
どちらも | z-2i | < 1 に含まれないから。
(2) あってる。
被積分関数の極は z = 0, 1 で、
| z-2 | < 3/2 に含まれるのは 1 だけ。
(z-1){ (4-3z)/(z^2-z) } = (4-3z)/z が z = 1 で正則だから
z = 1 は (4-3z)/(z^2-z) の 1 位の極と判る。
その留数は lim[z→1] (d/dz)^0 (z-1){ (4-3z)/(z^2-z) }
= (4-3・1)/1 = 1 なので、留数定理より
問題の積分は = (2πi)1 = 2πi.
(3)
被積分関数の極は z = -1, 5 で、
その両方が | z-2 | < 4 に含まれる。
(z+1){ (z-23)/(z^2-4z-5) } = (z-23)/(z-5) が z = -1 で正則だから
z = -1 は (z-23)/(z^2-4z-5) の 1 位の極で、
その留数は lim[z→-1] (d/dz)^0 (z+1){ (z-23)/(z^2-4z-5) }
= (-1-23)/(-1-5) = 4.
(z-5){ (z-23)/(z^2-4z-5) } = (z-23)/(z+1) が z = 5 で正則だから
z = 5 は (z-23)/(z^2-4z-5) の 1 位の極で、
その留数は lim[z→5] (d/dz)^0 (z-5){ (z-23)/(z^2-4z-5) }
= (5-23)/(5+1) = -3.
留数定理より、問題の積分は = (2πi){ 4 + (-3) } = 2πi.
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