大学数学の代数の問題です。 二面体群D4={e,σ,σ^2,σ^3,τ,στ,σ^2τ,σ^3τ}を

大学数学の代数の問題です。

二面体群D4={e,σ,σ^2,σ^3,τ,στ,σ^2τ,σ^3τ}を考える。D4の部分群H2=<στ>は正規部分群かどうか答えよ。

どなたか教えてほしいです！

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/14 10:56

D4={e,σ,σ^2,σ^3,τ,στ,σ^2τ,σ^3τ}

σ^4=e
τ^2=e
τσ=(σ^3)τ
στστ=e
H2=<στ>={στ,e}

σ(H2)σ^(-1)
=σ(H2)σ^3
=σ{στ,e}σ^3
={(σ^2)τσ^3,σeσ^3}
={(σ^2)τσ(σ^2),σσ^3}
={(σ^2)(σ^3)τ(σ^2),σ^4}
={(σ^5)(τσ)σ,e}
={σ(σ^3)τσ,e}
={(σ^4)(σ^3)τ,e}
={(σ^3)τ,e}
≠{στ,e}=H2

σ(H2)σ^(-1)≠H2
だから
H2は正規部分群ではない