xが2以上、yが2以上、xy=16のとき、(log2 x)(log2 y)の最大値、最小値を求めよ。

という問題で、最大値の求め方はわかるのですが、最小値の求め方が理解できません。

解答によると、
3つの条件から(log2 x)が1以上、3以下であるから、log2 x=1、log2 x=3のとき、最小値3をとる。
らしいのですが、何故↑のようにすれば最小値が求まるのかわかりません。
グラフを書こうにも、(log2 x)(log2 y)を縦軸にとったときに、横軸に何の値を使えば良いのかがわかりません。

今後同じような問題が出たときにも解けるようにしたいので、こういう問題はどこに着目すれば良いのか、みたいに、ポイントだけでも教えて下さい。

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A 回答 (3件)

補足です.greenpieceさんがlog 2 xの範囲がどう最小値と関係あるのか,と仰っていたので,答えさせていただきます.



今,tsの最小値は,s=4-tとおくと,
ts=-t^2+4tですから,
tの範囲が実数全体だと,
tsは最小値を持たなくなってしまいます.(tに関してtsは上に凸なグラフを描きます)
しかし、今3>=t>=1となっていますから,
この範囲内での最小値はt=1,3の時となるわけです.
お分かり頂けましたでしょうか.

ちなみに対数関数や指数関数の問題で複雑になりそうだったら,文字をおきなおして考えた方がいいことも多いです.(log2 x=tのように)この時,しっかり対数・指数関数の条件を見て置きなおした文字の範囲を念頭においておけば,まず間違えることはないと思われます.
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この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございます。
対数関数や指数関数もそうですが、どうやら私は未だに二次関数も完全に会得できていないみたいですね…。
新学期が始まる前にもう一度復習しておこうと思います。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2005/04/03 04:11

(log2 x)+(log2 y)=(log2 xy)=(log2 16)=4


ですので,log2 x=t, log2 y=sとおいて,
t+s=4を満たすときの,tsの最大最小を求めればよいです.ところで、ここでは(xが2以上、yが2以上)より,t,s>=1となので,
tsのmax:ts=4(t=s=2)
tsのmin:ts=3(t=1,s=3 or t=3,s=1)
これでx,yの値をそれぞれ求めてやれば良いわけです.

多分大体の問題はこの程度で解けると思うのですが・・・
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この回答へのお礼

なるほど!
xとyの値が変わっても、(log2 x)+(log2 y)=4というのは変わらないから、(log2 x)か(log2 y)の値の範囲を求めて、その中から(log2 x)(log2 y)の最小値を見つければ良いんですね。

ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/03 03:52

一般的な回答のアナロジーは自分でたくさん問題を解いて自分でつかんでほしいんですが、この問題については;


y=16/x なので、log2(y)=log2(16/x)=log2(16)-log2(x)

この回答への補足

書いて頂いた式は理解できるのですが…
どうして最小値を求めるときにlog2(x)の範囲を使うのかがわからないのです。
どうして(log2 x)が1以上、3以下になるのかはわかります。でも、それが最小値とどう関係があるのかを教えて頂けますか?

補足日時:2005/04/03 03:34
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