xが2以上、yが2以上、xy=16のとき、(log2 x)(log2 y)の最大値、最小値を求めよ。

という問題で、最大値の求め方はわかるのですが、最小値の求め方が理解できません。

解答によると、
3つの条件から(log2 x)が1以上、3以下であるから、log2 x=1、log2 x=3のとき、最小値3をとる。
らしいのですが、何故↑のようにすれば最小値が求まるのかわかりません。
グラフを書こうにも、(log2 x)(log2 y)を縦軸にとったときに、横軸に何の値を使えば良いのかがわかりません。

今後同じような問題が出たときにも解けるようにしたいので、こういう問題はどこに着目すれば良いのか、みたいに、ポイントだけでも教えて下さい。

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A 回答 (3件)

補足です.greenpieceさんがlog 2 xの範囲がどう最小値と関係あるのか,と仰っていたので,答えさせていただきます.



今,tsの最小値は,s=4-tとおくと,
ts=-t^2+4tですから,
tの範囲が実数全体だと,
tsは最小値を持たなくなってしまいます.(tに関してtsは上に凸なグラフを描きます)
しかし、今3>=t>=1となっていますから,
この範囲内での最小値はt=1,3の時となるわけです.
お分かり頂けましたでしょうか.

ちなみに対数関数や指数関数の問題で複雑になりそうだったら,文字をおきなおして考えた方がいいことも多いです.(log2 x=tのように)この時,しっかり対数・指数関数の条件を見て置きなおした文字の範囲を念頭においておけば,まず間違えることはないと思われます.
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この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございます。
対数関数や指数関数もそうですが、どうやら私は未だに二次関数も完全に会得できていないみたいですね…。
新学期が始まる前にもう一度復習しておこうと思います。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2005/04/03 04:11

(log2 x)+(log2 y)=(log2 xy)=(log2 16)=4


ですので,log2 x=t, log2 y=sとおいて,
t+s=4を満たすときの,tsの最大最小を求めればよいです.ところで、ここでは(xが2以上、yが2以上)より,t,s>=1となので,
tsのmax:ts=4(t=s=2)
tsのmin:ts=3(t=1,s=3 or t=3,s=1)
これでx,yの値をそれぞれ求めてやれば良いわけです.

多分大体の問題はこの程度で解けると思うのですが・・・
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この回答へのお礼

なるほど!
xとyの値が変わっても、(log2 x)+(log2 y)=4というのは変わらないから、(log2 x)か(log2 y)の値の範囲を求めて、その中から(log2 x)(log2 y)の最小値を見つければ良いんですね。

ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/03 03:52

一般的な回答のアナロジーは自分でたくさん問題を解いて自分でつかんでほしいんですが、この問題については;


y=16/x なので、log2(y)=log2(16/x)=log2(16)-log2(x)

この回答への補足

書いて頂いた式は理解できるのですが…
どうして最小値を求めるときにlog2(x)の範囲を使うのかがわからないのです。
どうして(log2 x)が1以上、3以下になるのかはわかります。でも、それが最小値とどう関係があるのかを教えて頂けますか?

補足日時:2005/04/03 03:34
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「試験範囲」は英語でなんといいますか?

どの辞書を調べてもthis test covers pages 30-42 のようにしかのっていません。

学校で試験範囲が書かれたプリントのタイトル部分は、一体どのような表現となるのが、英語圏で一般的なのでしょうか。お教えください。

Aベストアンサー

「範囲」とはちょっとニュアンスが違うのだけれど、試験に出る項目のリストには、"exam objectives" とか"Study guide"等と書かれています。
 
学期を通しての試験範囲や試験の日程が書かれたものは"exam schedule" とか "test schedule" と書かれています。
 
黒板の板書や口頭でテスト範囲を発表する場合は、"Test #3 will cover from chapter 5 to chapter 10."等です。 

Qx+y=u、xy=vとする。x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を

x+y=u、xy=vとする。x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を求めなさい。
という問題です。出来るだけ詳しい回答をお願いします。

Aベストアンサー

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u^2-v=1
よって
v=u^2-1 (1)
uをいくら多いくしても小さくしても(1)の関係さえ成り立ってればよいのではないか、
従ってuの最大値は∞、最小値は-∞と考えたくなりますが
一つ条件を忘れています。
それはx,yが実数であるということです。
x,yを解とする2次方程式は
t^2-(x+y)t+xy=0
よって
t~2-ut+v=0
これが実解を持つ条件は判別式Dが
D=u^2-4v≧0

v≦u^2/4 (2)

u,v平面に(1),(2)のグラフを描いてみると
結局放物線(1)の(2)より下の部分(交点もOK)
であることが解ります。
最大値は交点の正の方、最小値は負の方ということで
uの最大値は2√3/3、最小値は-2√3/3

さらにこのようなx,yが存在することを確認することが必要です。
u=2√3/3のときx=y=√3/3,u=-2√3/3のときx=y=-√3/3
よってOKです。

Q一般に「英語」というときの言葉の概念の範囲について

一般に「英語」というときの言葉の概念の範囲について

日常生活において、「英語」というとき
いわゆる「英語」の他に
慣用的にフランス語やドイツ語などの外国語(特にヨーロッパ圏の言語)のことも含めて
「英語」と呼び慣わす場合があるような気がするのですが。。。

自分の思い過ごしでしょうか?

Aベストアンサー

・・・というよりは、白人が外国語を話していたら、「英語」ときめつけてしまう
風潮がある、ということでしょう。本当はフランス語やドイツ語かもしらないのに。
あるいは、白人が道にまよっていて親切心がある人がつい「英語」で話しかけて
しまうかもしれません。本当は英語は片言で、スペイン語やイタリア語が
自分のことばかもしれないのに。

Qx, y∈R がx^2+xy+y^2=6をみたしながら動くときz=x+yの取り得る値の範囲を求めよ。

x∈R より、判別式Dは実数解を持つ(D≧0)を利用しました。
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x^2+x(z-x)+(z-x)^2-6=0
x^2-zx+z^2-6=0
題意より
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3z^2-24≦0
z^2≦8
∴ -2√2≦z≦2√2

と解いたのですが、説明不足でしょうか?
不自然な点、補足した方がよい点がをご教授下さい。

Aベストアンサー

試験対策を考えているなら、少し答案の書き方を考えたほうが良いかもしれません。
答案は、基本的に「文章を」書くものです。数式は、その補助に過ぎませんから、
式だけ書きっぱなし(に近い)答案は、求める値だけ当たっていても、評価が低い場合があります。

上の答案は、「題意より」の部分を補って

x^2+xy+y^2=6 に y=z-x を代入すると、x^2-zx+z^2-6=0 となる。
題意より、この方程式は x の実数解を持たねばならないから、
判別式を考えると、z^2-4(z^2-6)≧0 が成り立つ。
この不等式を解けば、-2√2≦z≦2√2 となる。

と解釈される可能性があります。(文章になっていないので、読まずに0点という可能性さえある。)

こう書き直してみると、
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実数 y が存在するかどうかに関して何も言っていないこと、
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Q「実行時エラー 9 インデックスが有効範囲にありません」を英語で連絡したい

VBで作ったソフトで良く出る、
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というエラーを、開発元に伝えたいのですが、

くだんのソフトがアメリカ製英語ソフトになっています。

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というエラーメッセージの、本国英語版メッセージが、どういう文面なのか
わからず困っています。

一応、Microsoft Technetも探してみたのですが、私の力量ではお手上げです。

どなたか英語版の原文エラーメッセージをご存知の方、
または、日本語エラーメッセージの原文対訳サイトをご存知の方、
などいらしてましたら、どうか助けてください。

Aベストアンサー

No.4です。
目的がVisual Basicで
>「実行時エラー 9 インデックスが有効範囲にありません」を英語で連絡したい
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Run-time error 9 Subscript out of range
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ランタイムがインストールされていなければ、Visual Basicは実行できないと思います。
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Qx^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値

x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題です…
解説お願いします(T-T)

Aベストアンサー

1) x-2y=k とおき、x^2+2xy+4y^2=9 に代入して、xまたはyを消去します。
  ここでは 2y=x-k として xを消去します。
   x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
  ⇔3x^2-3kx+k^2-9=0  ・・・・★

2) 「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
  「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
  ですので、1)で得たxの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。
  従って、2次方程式★の判別式から
   9k^2-12(k^2-9)≧0
  ⇔k^2≦36
  ∴-6≦k≦6
となります。
 ここから 最大値 6、最小値-6を得ます。

3) 最大・最小となるx、yの値を求めます。
  k=±6 のとき 式★の2次方程式は (x干3)^2=0 となりますので、その解は x=±3 となります。(複号同順)
 また、yの値は k=±6, x=±3 のとき y=(x-k)/2=±(3-6)/2=干3/2 となります。(複号同順)

 従って、最大値は(x,y)=(3,-3/2)のとき 6 で、最小値は(x,y)=(-3,3/2)のとき -6 となります。

1) x-2y=k とおき、x^2+2xy+4y^2=9 に代入して、xまたはyを消去します。
  ここでは 2y=x-k として xを消去します。
   x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
  ⇔3x^2-3kx+k^2-9=0  ・・・・★

2) 「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
  「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
  ですので、1)で得たxの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。...続きを読む

Q英語とスペイン語は現在完了形の守備範囲が違いますか?

たった今話し相手が言ったことを聞き取れなかったとき、What did you say? と[過去形で]聞き返すのが、英語。
Que has dicho? と[現在完了形]で聞き返すのが、スペイン語。このように観察しました。もっとアカデミックな?言い方で説明すると、どんな風に言えますか?英語とスペイン語では現在完了形の守備範囲が違うのでしょうか?

Aベストアンサー

守備範囲は基本的には同じで、どちらも完了、結果、経験、継続を表すのに現在完了形を使います。
スペイン語の方が、過去形、現在完了形の区別を話し手の感情に依存しており、英語よりも用法がフレキシブルです。

例えばスペイン語では極端な話、5年前に起こった出来事を描写する文に現在完了を用いても間違いにはなりません。
分かり易い例を挙げると
Mi abuelo ha muerto hace cinco anos.
など。話し手が今でもおじいさんが亡くなった事を引きずっているんですね。
単純に事実を描写する場合は Mi abuelo murio hace cinco anos. です。

余談ですが、スペインのガリシア地方ではガリシア語に現在完了形が存在しないため
他の地域で完了形を用いる文にも過去形を用いる傾向が強いです。

それに比べると英語の完了形は時を表す副詞(句)によって過去形、現在完了形が明確に分かれています。
現在完了形は明確に過去を表す語句、Yesterdayとか、five years ago等と一緒には使えません。
現在を含む副詞(句)、today、this morning 等は現在完了形を使います。
但し、最近の過去の一時点を表す場合には過去形を用います。

ご質問の What did you say? が What have you said? とならないのは上記の「最近の過去の一時点を表す」場合にあたるのではないでしょうか。

守備範囲は基本的には同じで、どちらも完了、結果、経験、継続を表すのに現在完了形を使います。
スペイン語の方が、過去形、現在完了形の区別を話し手の感情に依存しており、英語よりも用法がフレキシブルです。

例えばスペイン語では極端な話、5年前に起こった出来事を描写する文に現在完了を用いても間違いにはなりません。
分かり易い例を挙げると
Mi abuelo ha muerto hace cinco anos.
など。話し手が今でもおじいさんが亡くなった事を引きずっているんですね。
単純に事実を描写する場合は Mi a...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q「できる範囲でお手伝いします」を英語で

こんにちは。

「私のできる範囲で助けます」
「私の知ってる範囲で助けます」
みたいな言い方は、英語ではどういいますか?
I do help you as I can. とかでいいんでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

I'll help you as much as I can.

<参考>
http://tatoeba.org/eng/sentences/show/464753

QX+y=√5 ,xy=1のときの次の式の値を求めよ。 1) x2+y2 2) 1/x + 1/

X+y=√5 ,xy=1のときの次の式の値を求めよ。

1) x2+y2

2) 1/x + 1/y

3)x3 +y3

お時間ございましたら
解き方教えて下さい(_ _)

Aベストアンサー

1) x^2+y^2
=x^2+2xy+y^2-2xy
=(x+y)^2-2xy
=(√5)^2-2×1
=5-2=3

2) 1/x + 1/y
=y/xy+x/xy=y+x=√5

3)x^3+y^3
=(x+y)(x^2–xy+y^2) ← この変形は公式?をそのまま使う
2つ目の()内は1)の値を使う
=√5(3-1)=2√5


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