2重積分です。この問題の解答では、D : -a<=x+y<=a , -a<=x-y<=a と置いて、

2重積分です。この問題の解答では、D : -a<=x+y<=a , -a<=x-y<=a と置いて、aの極限を取っていますが、Dの範囲がよくわかりません。なぜ、x+yとx-yのどちらも範囲を-a〜aとして極限を取って表せるのでしょうか。
ご教示宜しくお願い致します。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/21 00:26

本来は、

lim[a→-∞,b→+∞,c→-∞,d→+∞]∫[a,b] ∫[c,d] { e^(-x^2-y^3+2xy) }/{ 1 + (x+y)^2 } dx dy
の四重極限が収束することを言ってからでないと、そんな自由な変形はできないんですが...
今回は、被積分関数の値が常に正なので、どれかの順番で lim して収束すれば
重極限としても収束することが予め判っているんです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2022/08/21 13:49

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/21 05:01

R1>0

R2>0
R3>0
R4>0
a1=min(R1,R2,R3,R4)
a2=R1+R2+R3+R4
とすると
∫_{-R3～R4}∫_{-R1～R2}e^{-x^2-y^2+2xy}/{1+(x+y)^2}dxdy
=∫_{-R3～R4}∫_{-R1～R2}e^{-(x-y)^2}/{1+(x+y)^2}dxdy

X=x+y
Y=x-y
-a1<X<a1
-a1<Y<a1
とすると
-a1<x+y<a1
-a1<x-y<a1
-2a1<2x<2a1
-R1≦-a1<x<a1≦R2
-a1<y-x<a1
-2a1<2y<2a1
-R3≦-a1<y<a1≦R4
だから
∫_{-a1～a1}∫_{-a1～a1}e^{-Y^2}/{1+X^2}dXdY
≦∫_{-R3～R4}∫_{-R1～R2}e^{-(x-y)^2}/{1+(x+y)^2}dxdy

X=x+y
Y=x-y
-R1<x<R2
-R3<y<R4
とすると
-R1-R3<x+y<R2+R4
-a2=-R1-R2-R3-R4<-R1-R3<X<R2+R4<R1+R2+R3+R4=a2
-R4<-y<R3
-R1-R4<x-y<R2+R3
-R1-R4<Y<R2+R3<R1+R2+R3+R4=a2
-a2=-R1-R2-R3-R4<-R1-R4<x-y<R2+R3<R1+R2+R3+R4=a
だから
∫_{-R3～R4}∫_{-R1～R2}e^{-(x-y)^2}/{1+(x+y)^2}dxdy
≦∫_{-a2～a2}∫_{-a2～a2}e^{-Y^2}/{1+X^2}dXdY

∴
∫_{-a1～a1}∫_{-a1～a1}e^{-Y^2}/{1+X^2}dXdY
≦∫_{-R3～R4}∫_{-R1～R2}e^{-(x-y)^2}/{1+(x+y)^2}dxdy
≦∫_{-a2～a2}∫_{-a2～a2}e^{-Y^2}/{1+X^2}dXdY

lim_{a1→∞}∫_{-a1～a1}∫_{-a1～a1}e^{-Y^2}/{1+X^2}dXdY
≦∫_{-∞～∞}∫_{-∞～∞}e^{-(x-y)^2}/{1+(x+y)^2}dxdy
≦lim_{a2→∞}∫_{-a2～a2}∫_{-a2～a2}e^{-Y^2}/{1+X^2}dXdY

∴
lim_{a→∞}∫_{-a～a}∫_{-a～a}e^(-Y^2)/(1+X^2)dXdY
=∫_{-∞～∞}∫_{-∞～∞}e^{-(x-y)^2}/{1+(x+y)^2}dxdy

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2022/08/21 13:49

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/21 06:53

これは D=R²の全平面での積分です。

この広義積分の区間は
取り方は色々できます。つまり、R²は有限平面区間の拡張
ですが、この有限区間の取り方が色々できます。

今回、被積分関数は u=x-y , v=x+y とくと
　exp(-(x-y)²)/(1+(x+y)²)
となりますので、このように変換が使えるような有限領域を
とります。それは (-a,0),(0,a),(a,0),(0,-a)を頂点とするひ
し形です。

この領域の境界は
　x-y=±a , x+y=±a
で表されるので、有限領域はその内部となり、 a → ∞　とす
れは Dの積分が求められる。
　|J|=2
なので
　∫[D] exp(-(x-y)²)/(1+(x+y)²) dxdy
　=∫[-∞,∞]∫[-∞,∞]exp(-u)²/(1+v²) 2dudv
　=2{∫[-∞,∞] exp(-u)² du}{ ∫[-∞,∞]dv/(1+v²) }
　=2√π [tan⁻¹v][∞,-∞]=2√π・2π/2
　=2π³/²

ここで、
　∫[-∞,∞] exp(-u)² du=√π
は周知とした。

この回答へのお礼

とてもわかり易かったです。ありがとうございました。

お礼日時：2022/08/21 13:49