ベルトラン競争の問題について教えていただきたいです。 需要関数:P=100-Q Y社の生産技術:Cy

ベルトラン競争の問題について教えていただきたいです。
需要関数:P=100-Q
Y社の生産技術:Cy(qy)=10qy
S社の生産技術:Cs(qs)=5qs

ベルトラン競争を行っているとき、市場均衡価格はいくつになるか、どちらの企業が正の利潤を得ているか、市場均衡は社会的最適だろうか？

ちなみに解答は
市場均衡価格:10-ε(10よりわずかに低い価格)
企業Sが(5-ε)(90+ε)の利潤を得ている。市場均衡は社会的最適でない。(社会的最適はP**=5でQ**=95が生産されているとき)
となっていました。

以上がどのようにして求まるのか流れを追って教えていただけると幸いです。

No.6 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2022/10/24 09:51

>社会的余剰について理解が薄いためPs＝５のときに社会的余剰が最大になるというところが分かりませんでした。

申し訳ありません。

(Py,Ps)=(10,5)のとき、市場価格P＝Ps＝５となるが、このとき価格＝限界費用、と（完全）競争均衡と同一の結果が成立するからだ。競争均衡というのは外部経済あるいは不経済が存在しないときは、つねに「パレート効率的」（社会的余剰が最大化される状態）なのだ。複占(企業YとSの2企業間の競争）のもとではベルトラン競争であれ、クールノー競争であれ、市場価格は競争均衡価格から乖離し、死荷重が発生する。

この回答へのお礼

お答えいただきありがとうございます。Ps＝５で社会的余剰が最大になる理由を理解することができました。

お礼日時：2022/10/24 15:56

No.5 回答者： gootarohanako 回答日時： 2022/10/23 07:42

>(Py,Ps)=(10,10-ε)のとき、Py>Psより

Πs=(5-ε)(90+ε),Πy=0
またこのときPy<10とすると、Πy<0となり利潤は増えない。
このことから、(Py,Ps)=(10,10-ε)はN.E.である。

これでよいのですが、(Py,Ps)=(10,10-ε)がN.E.であることを正式に証明したいなら、それぞれ企業YとSに対して、上方へ離脱したときと下方へ離脱したときの4つの場合について、利得（利潤）が増えないことを示す。
(Py,Ps)=(10,10-ε)のとき、利得の組はΠy=0,Πs=(5-ε)(90+ε)だ。企業Yが上方へ離脱すると、利得はゼロで増えないし、下方へ離脱するとマイナスとなり（損失が発生）、増えない（減少する）。企業Sが上方へ離脱すると、利潤はゼロと、減少してしまうし（なぜ？）、下方に離脱すると、やはり減少するが、ちょっと複雑なのでチェックする必要がある。企業Sの独占価格はPs=105/2=52.5（＝独占利潤を最大化する価格）で、価格が低くなるにしたがって利潤は小さくなる。よって企業Sは価格を10-εより低く設定しても利潤は小さくなるだけなのだ（なぜ？）

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2022/10/22 08:30

(Py,Ps)=(10,10-ε）はN.E.だが、社会的に望ましくないことは、企業Sが戦略をPs=10-εからPs=5に変更し、戦略の組が(Py,Ps)=(10,5)になれば、社会的余剰が最大になることからわかる（なぜ？）総余剰を前者と後者を計算し、くらべてみてください。

いくらになる？

この回答へのお礼

社会的余剰について理解が薄いためPs＝５のときに社会的余剰が最大になるというところが分かりませんでした。申し訳ありません。
社会的余剰の求め方として、生産者余剰と消費者余剰の和であり、WTPと費用の差であるというところまで習いました。

お礼日時：2022/10/23 22:11

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2022/10/20 21:19

回答２は企業Yと企業Sをところどころで混同しているので、訂正する。

以下のように回答2の当該部分を直してください。


Py<Psのとき、Πy(Py,Ps)=(Py-10)(100-Py), Πs(Py,Ps)=0
Py=Psのとき、Πy(Py,Ps)=(Py-10)(100-Py)/2
　　　　　　　Πs(Py,Ps)=(Ps-5)(100-Ps)/2
Py>Psのとき、Πy(Py,Ps)=0, Πs(Py,Ps)=(Ps-5)(100-Ps)

ここまでよろしいでしょうか？つぎに、戦略の組（Py,Ps)は、各プレイヤー（各企業）が、自分だけその戦略の組から離脱しても、自分の利得が増えないとき、ナッシュ均衡(Nash Equiliburium,以下 略してN.E.）という。つまり、ある戦略の組がN.E.とは、どちらのプレイヤーにとっても自分だけ戦略を変更する誘因が存在しない状態なのだ。
たとえば、(Py,Ps)=(50,30)はN.E.だろうか？いいえ。なぜなら、企業Yにとって、このままではΠy＝０だが、相手がPs=30のままのとき、自分だけ、たとえばPy=20に戦略を変更して、(Py,Ps)=(20,30)にすれば、企業Yの利得（利潤）は増える（いくらになる？）よって、（50,30)はN.E.ではない！

(Py,Ps)=(10,10-ε)がN.E.であることを、上で示したN.E.の定義にしたがって示してください。ベルトラン競争のナッシュ均衡のことをベルトラン＝ナッシュ均衡、あるいはベルトラン均衡ともいいます。なお、2企業が価格ではなく、生産量を戦略として競争するゲームをクールノー競争といい、その均衡はクールノー=ナッシュ均衡あるいはクールノー均衡といいます。名前が示しているようにベルトランゲームとは別のゲームです。

この回答へのお礼

(Py,Ps)=(10,10-ε)のとき、Py>Psより
Πs=(5-ε)(90+ε),Πy=0
またこのときPy<10とすると、Πy<0となり利潤は増えない。
このことから、(Py,Ps)=(10,10-ε)はN.E.である。

自分で解いてみたらこんなふうになりました。
これで合っていますでしょうか？

お礼日時：2022/10/22 23:05

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2022/10/20 10:49

ゲーム理論は勉強したことがない？ベルトラン競争は同時手番ゲームの一つで、価格を戦略変数としてプレーするゲームで、均衡概念はナッシュ均衡だ。

同時手番ゲームとはじゃんけんゲームのように、各プレイヤー（この場合企業Yと企業S）が一回かぎり、同時に自分の戦略（この場合自らの価格）を提示することで利得（この場合利潤）を最大化しようとするゲームをいう。同質の財を生産・販売するベルトラン競争ではより低い価格を市場に提示したほうが市場全体をわがものとする（提示した価格が同じだった場合は市場の需要は半分がYへ、半分がSへ行く）ゲームだ。（じゃんけんゲームなら、プレイヤーYとSが同時にぐう・ちょき・ぱあの中から一つ選んで出し、Yがぐう、Sがちょきなら、Yが勝ち、たとえばYは利得2点を得るが、負けたSの利得は０点というふうにプレーするゲームだが、わざわざ説明するまでもないでしょう。）ゲームはプレイヤー（この場合企業YとS）、各プレイヤーの戦略集合(空間）、そして各プレイヤーの利得関数からなる。。各プレイヤーの戦略はベルトラン・ゲームの場合各企業の自らの価格で、それぞれPy,Psと書くと、Py∈[0,∞）、Ps∈[0,∞）、つまり、各企業は自分の価格を非負の任意の実数の中から選んで提示する。利得関数、Πy(Py,Ps)、Πs(Py,Ps)はつぎのようになっている。
Py<Psのとき、Πy(Py,Ps)=(Py-5)(100-Py), Πs(Py,Ps)=0
Py=Psのとき、Πy(Py,Ps)=(Py-5)(100-py)/2
Πs(Py,Ps)=(Ps-10)(100-ps)/2
Py>Psのとき、Πy(Py,Ps)=0, Πs(Py,Ps)=(Ps-10)(100-Ps)

ここまでよろしいでしょうか？つぎに、戦略の組（Py,Ps)は、各プレイヤー（各企業）が、自分だけその戦略の組から離脱しても、自分の利得が増えないとき、ナッシュ均衡(Nash Equiliburium,以下 略してN.E.）という。つまり、ある戦略の組がN.E.ならば、どちらのプレイヤーにとっても自分だけ戦略を変更する誘因が存在しない状態なのだ。
たとえば、(Py,Ps)=(50,30)はN.E.だろうか？いいえ。なぜなら、企業Yにとって、このままではΠy＝０だが、相手がPs=30のままのとき、自分だけ、たとえばPy=20に戦略を変更して、(Py,Ps)=(20,30)にすれば、企業Yの利得（利潤）は増える（いくらになる？）よって、（50,30)はN.E.ではない！

(Ps,Py)=(10-ε,10)がN.E.であることを、上で示したN.E.の定義にしたがって示してください。ベルトラン競争のナッシュ均衡のことをベルトラン＝ナッシュ均衡、あるいはベルトラン均衡ともいいます。なお、2企業が価格ではなく、生産量を戦略として競争するゲームをクールノー競争といい、その均衡はクールノー=ナッシュ均衡あるいはクールノー均衡といいます。名前が示しているようにベルトランゲームとは別のゲームです。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2022/10/19 15:20

あなたに回答した質問「支配的企業云々」が事務局によって回答もろとも削除されてしまった。

提出すべき試験とか宿題とかではないでしょう？授業あるいは問題集の解説・説明などでわからないことがあって質問したという風に見えた。私はそう判断して回答した。（こちらも宿題等のお手伝いする気はない。）もしそうなら、事務局に質問削除の撤回を求めたらよい。

このベルトラン競争の質問はどうか？せっかく回答しても事務局によって削除されてしまうのでは面白くないので、訊いておく。

この回答へのお礼

ありがとうございます。問い合わせてみます。

お礼日時：2022/10/19 21:01