グラフで囲まれた面積を求める問題で 区間a〜b(a<b)で定積分∫f(x)-g(x)dx=-aと負の

グラフで囲まれた面積を求める問題で
区間a〜b(a<b)で定積分∫f(x)-g(x)dx=-aと負の値になった場合、-a→|-a|=aと変形して面積を求める方法はOKですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ponpon55555 回答日時： 2023/02/08 23:32

f(x)−g(x)が常に負ならokですが、

それ以外はだめです。画像のようになる場合、
質問者さんのように解くと
−a＝S1−S2となり
a＝S2−S1になります。

でも実際の囲まれた面積は S1＋S2ですよね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/09 20:15

a=0

b=2π
f(x)=sinx
g(x)=0

区間0～2πで
f(x)=sinx
と
g(x)=0
で囲まれた面積を求める問題で

∫_{0～2π}(sinx)dx
=[-cosx]_{0～2π}
=0

となるけれども
図の通り
面積は0ではありません
だから
∫_{a～b}{f(x)-g(x)}dx
としてはいけません

I={x|a≦x≦b,f(x)>g(x)}をf(x)>g(x)となる区間とする
J={x|a≦x≦b,f(x)<g(x)}をf(x)<g(x)となる区間とする

(面積)
=∫_{a～b}|f(x)-g(x)|dx
=∫_{I}{f(x)-g(x)}dx+∫_{J}{g(x)-f(x)}dx

となります

区間0～2πで
f(x)=sinx
と
g(x)=0
で囲まれた
(面積)
=∫_{0～2π}|sinx|dx
=∫_{0～π}(sinx)dx+∫_{π～2π}(-sinx)dx
=[-cosx]_{0～π}+[cosx]_{π～2π}
=2+2
=4

No.2 回答者： ponpon55555 回答日時： 2023/02/08 23:34

それ以外の補足

f(x)−g(x)が常に正のときも省きます。
なぜなら囲まれた面積はそもそも負にならないからです。