電磁波の特性インピーダンスＺ＝Ｅ/Ｈの導出方法

電磁波の特性インピーダンスの式Ｚ＝Ｅ/Ｈの導出方法について現在調査中です。
ウィキペディアによるとマクスウェルの方程式から導出できるそうですが、どうも導出できません･･･(泣)
どうかご助言または出典元について有識者の方々にご教示いただきたく、宜しくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

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  【質問の補足】
  自分が疑問なのは「Ｚ＝Ｅ/Ｈ」の左辺、
  つまり「何故、Ｅ/ＨはＺになるのか？」です。
  周知の事柄なのでしょうか･･･

    補足日時：2023/03/07 03:29

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  調べていて以下の記述を見付けました。
  **********************
  Ｅ[V/m]、H[A/ｍ]
  なので、E/H＝Z[V/A]＝Z[Ω]
  **********************
  単位変換だけだと確かにΩなのかも知れませんが
  何処かしっくり理解できずキツネにつままれた感じが･･･

    補足日時：2023/03/07 04:22

No.6 回答者： d9win 回答日時： 2023/03/10 18:33

#5回答の図の電圧と磁界の方向が間違ってましたので、下図と差し替えて下さい。

この回答へのお礼

図の修正まで丁寧にしていただき
ありがとうございます。
参考にいたします。

お礼日時：2023/03/11 12:03

No.5 回答者： d9win 回答日時： 2023/03/10 13:49

交流の波長に対して十分長い平行線路や同軸ケーブルでは、電力は電磁波として伝わります。

そして、そのような伝送線路や真空中の電磁波の電界と磁界の値の比率は決まっており、その値が固有(特性)インピーダンスです。電磁波のE/H比が一定値√(μ₀/ε₀)になることはMaxwell方程式から導くことが出来ます。したがって、平行線路等の任意の点におけるV/I比がその箇所に存在している電界Eと磁界Hの比率に等しい関係(V/I= E/H)を示せば、「E/HがインピーダンスZ= V/Iと同じ意味を持つ」ことが納得できると思います。以下の説明は厳密性に欠けますが、考え方として許されるのではないかと思います。
さて、平行線路に電流Iが流れている時、その断面は左下図のように上, 下の線路それぞれに逆向きに電流(I= Q v= ρL v)が流れていると見なし得ます(ρは線路L中の電荷密度)。線路の間隔が2rならば、伝路間の電圧Vに応じて電界E= V/(2r)が存在して、伝路の間には電流に垂直に磁界Hが生じ、電流方向に電力の流れ(ポインティング ベクトル(Sp= E x H)と断面積の積)が生じています。
これは、右下図に示す電流 (I= Q v= ρL v)が半径rの円周を周回している状況の破線で囲んだ領域に相応していると考えます。この周回電流Iが周回円の中心に磁界H= I /(2r)を生じることはビオサバールの法則から導くことが出来ますが、後述するように円内の磁界は他の点でも同じで、どこでもE/H= [V/(2r)]/ [I/(2r)]= V/Iの関係が成立しています。
電流が周回する円内全域の磁界Hが均一であることは、円内を小領域に重なりがないように均等に分割して、その小領域を周回する電流とその中の磁界を考えると判ります。小領域を、外周円に丁度Nヶ接する寸法に選ぶと、電流の継続性から全ての小領域を(I/N)の電流が同じ方向に巡る状況が想定できます。その時、小領域の寸法は元の円の1/Nなので小領域の中心磁界は(I/N)/(2r/N)= I/(2r)のままです。小領域の分割数Nは任意に選ぶことが出来ますので、電流が周回する円内の磁界は均一と言えます。(ちなみに、小領域を周回する電流は隣りの小領域の電流と相殺するので、周回円の内部には正味の電流は現れません)

この回答へのお礼

順序立て丁寧にご説明いただき恐縮です。
とても分かり易く理解を深めることができました。

なるほどまず平行な伝送線路間で E/H=V/I(=Z) を
示すことができるのですね。

平行線間の電流が微小領域で考えれば相殺されるのも
興味深いです。

また、ベクトルSp= E x H　の方向が電荷ρの方向と
一致するのも興味深いです。（EとHが完全に垂直なら
Sp=|E|･|H|になりそうなのも興味深いです）

未だ完全に理解するには足りていませんが、
なんとか理解を深めていこうと思います。
（Z=E/H=√(μ/ε)の式の導出ではマクスウェルの式
からＩの項が省かれている(回路から無限遠なので)を
今更ながらに気付きました････）

改めて、ありがとうございました。

お礼日時：2023/03/11 11:57

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/08 10:58

これは分布定数伝送線路との対応から来ています。

そこでは概略
　V=Ed, I=Hd
なので
　V/I=E/H
と対応できます。

この回答へのお礼

＞I=Hd

貴重な気付きをいただき、ありがとうございます。
これはH＝I/(2ｒ)から来ているのですね。
未だ理解しきれていないものの、
なんとか理解を深めていこうと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/03/11 11:29

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/07 07:15

Ｅ/ＨをＺとおいただけ

この回答へのお礼

＞Ｅ/ＨをＺとおいただけ

ご回答ありがとうございます。
確かにＥ/Ｈが値を持てばEとHは相関性を持ち、
VとIとの相関性と類似する意味から「インピーダンス」
と言われる･･･と考えれば筋が通りますね。

だとすると、大気のインピーダンス377Ωと
回路のインピーダンスは比較して考えてはダメなのか？
理論を拡張して、回路と大気のインピーダンスマッチング
まで考えるのはそもそもNGなのか？････等々、
疑問は広がります。

ありがとうございました。

お礼日時：2023/03/07 08:09

No.2 回答者： kantansi 回答日時： 2023/03/06 11:27

インピーダンス（Impedance）とは、電磁波が伝播する媒質によって抵抗されることを示す物理量で、単位はオーム（Ω）です。

インピーダンスの式 Z = E/H は、電場 E と磁場 H の比であることから、電磁波の特性インピーダンスを示す式として用いられています。

この式を導出するためには、マクスウェルの方程式に基づく導出方法が一般的に用いられます。以下に、簡単な導出方法を示します。

まず、マクスウェルの方程式によって電磁波の伝搬を表す平面波解を求めます。

∇×E = -dB/dt
∇×H = J + dD/dt

ここで、E は電場、H は磁場、B は磁束密度、J は電流密度、D は誘電体の電束密度です。

次に、電磁波の進行方向を x 軸とし、磁場 H の y 成分と電場 E の z 成分を考えます。このとき、平面波解は以下のように表されます。

H_y = H_0 sin(kx - ωt)
E_z = E_0 sin(kx - ωt + φ)

ここで、k は波数、ω は角周波数、φ は位相差です。また、H_0 と E_0 はそれぞれ磁場と電場の振幅を表します。

この平面波解に基づいて、電場 E と磁場 H の比を求めると、以下のようになります。

Z = E_0 / H_0

これが、電磁波の特性インピーダンスを表す式となります。

なお、この導出方法は非常に簡略化されたものであり、厳密な導出には数学的な知識が必要となります。詳しい導出方法については、専門書や論文などを参照することをおすすめします。

この回答へのお礼

丁寧にご回答いただき恐縮です。

ただ、自分が疑問なのは「Z=E/H」の左辺、
つまり「何故、E/H は Z になるのか？」なのです。
（質問が分かり辛く誠に申し訳ありません･･･）

お礼日時：2023/03/07 03:38

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/06 07:50

これは周知の事柄です(まともな電磁気学の本なら載っている)。

https://eman-physics.net/electromag/wave.html
のように、まず平面波と前進波を仮定すると
　Ex=F(z-ct)
　By=(1/c)F(z-c) → Hy=By/μ=(√(ε/μ))F(z-ct) (c=1/√(εμ))
となる。

すると
　Ex/Hy=√(μ/ε)

この回答へのお礼

＞これは周知の事柄です
：
＞Ex/Hy=√(μ/ε)

ご回答ありがとうございます。
上記の波動方程式から E/H=√(μ/ε) を
導くのは見たことがあるのですが、
自分が疑問なのは「Ｚ＝Ｅ/Ｈ」の左辺
つまり、
何故、Ｅ/ＨがＺになるのか？なのです。
（質問が分かり辛く申し訳ありません･･･）
こちらも周知の事柄なのでしょうか･･･

お礼日時：2023/03/07 03:18