微分の意味ついて質問が有ります

微分の意味ついて質問が有ります。

f'(a) ＝ lim[x→a] f(x)-f(a) / x-a

上の式について質問なのですが、
「xを限りなくaに近づけると、x=aにおける（接線の）傾きが求まる」
とのことですが、xをどれだけ（限りなく無限に）aに近づけても、xはaにはならないんだから、
その傾きは、どこまでいっても（たとえ極限をとっても）

f(x)-f(a) / x-a

のままで、x=aでの傾きにはならないと思うんですが、何が間違っているのでしょう？
要するに

lim[x→a] f(x)-f(a) / x-a ＝ f(x)-f(a) / x-a ≠ f'(a)

更に質問すると、xを限りなくaに近づけた時の平均の変化率が、何故x=aでの傾きになるのですか？
教科書には「xを限りなくaに近づけた時の平均の変化率が、x=aでの傾きになり、これを微分係数といってf'(a)と表す」しか書いてありません。

高校の時は大学に受かることばかり考えていたので、特に気にせず問題を解いていましたが、
改めて考えると気になります。

宜しくお願い致します。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/04/06 08:16

気になること。

ほかの回答者の方は注意していないが、

f(x)-f(a)/x-a
ではなく
(f(x)-f(a))/(x-a)
と正しく書いてください！あなたの書き方だと
f(x) - (fa)/x) - a
の意味になる！

＞その傾きは、どこまでいっても（たとえ極限をとっても）
f(x)-f(a) / x-a
のままで、x=aでの傾きにはならないと思うんですが、何が間違っているのでしょう？

あなたの提起している問題は、アキレスはけっして亀に追いつけない、というゼノンのパラドックスだよ。どこがおかしい、あるいはおかしくない？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/06 08:08

lim[x→a]f(x)

はf(x)が何に漸近してゆくか
をあらわすのであって、
f(x)≠f(a)は問題としないし
f(a)が存在しなくてもいい。

あなたの理屈だと「極限」自体無意味なのでは？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/06 06:53

「f(x) の x=a での傾き」って言葉の意味を

lim[x→a] (f(x)-f(a))/(x-a) で定義したってだけの話ですよ。
直線でない、曲線の「傾き」なんて、
Δy/Δx じゃ定義できないんだから
他に何か定義が必要でしょ？

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2023/04/05 23:53

私見ですが「極限を取った時に接線の傾きになる」と言う事に納得がいかないのであれば「ならない」と考えてしまって構わないと思います。

教科書等にあるように「限りなく近付けた時に傾きに限りなく近付く」と言うのが文字通りの意味なので。