数学(積分) この問題を面積公式を使わない解法を教えて頂きたいです

数学(積分)

この問題を面積公式を使わない解法を教えて頂きたいです

No.4 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2023/04/07 15:59

https://rikeilabo.com/area-formula-by-integratio …
面積公式とは　1/6公式のことでしょうか？これなら　使わなくても内容は同じですね！
直線 L: y=2mx+1 .......................(1)
放物線 C: y=2x^2 -4x =2x(x-2) .....(2)
(1)は(0,1) (2)は(0,0),(0,2) を通るから
x=0 において 常に(1)の方が上になるので　(1)が(2)と考えて
(1)と(2)の交点を(α,β) として
(1)-(2)　.......................................=(3)
の2次式の解になるから求め
αからβまで　(3)を積分すればNo.3のようになるかと！

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/06 16:51

y=2x^2-4x

と
y=2mx+1
の
交点を(x,y)とすると
2x^2-4x=2mx+1
2x^2-2(m+2)x=1
2{x-(m+2)/2}^2=1+(m+2)^2/2
{x-(m+2)/2}^2={2+(m+2)^2}/4
x={m+2±√(m^2+4m+6)}/2

a={m+2-√(m^2+4m+6)}/2
b={m+2+√(m^2+4m+6)}/2
とすると
2x^2-4x-(2mx+1)=2x^2-2(m+2)x-1=2(x-a)(x-b)
だから
a<x<bのとき
2x^2-4x-(2mx+1)=2(x-a)(x-b)<0
だから
2x^2-4x<2mx+1
2mx+1-(2x^2-4x)>0

S
=∫_{a～b}(2mx+1-2x^2+4x)dx
=∫_{a～b}(1+2(m+2)x-2x^2)dx
=[x+(m+2)x^2-2x^3/3]_{a～b}
=b-a+(m+2)(b^2-a^2)-2(b^3-a^3)/3
=(b-a){1+(m+2)(b+a)-2(b^2+ab+a^2)/3}
=(b-a){1+(m+2)(a+b)-2{(a+b)^2-ab}/3}

b-a=√(m^2+4m+6)
a+b=m+2
ab=-1/2
だから

S={√(m^2+4m+6)}{1+(m+2)^2-2{(m+2)^2+1/2}/3}
S=(m^2+4m+6){√(m^2+4m+6)}/3
∴
S={(m^2+4m+6)^(3/2)}/3