No.1ベストアンサー
- 回答日時:
電気では、虚数単位は、電流と混乱するので、jを使う。
(1)
フェザー法で解けるが、過渡現象ということで
(r+R)i+Li'=Eexp(jwt)
の特殊解を求めればよい。ラプラスは好かないので、微分演算
子法を使う。
(r+R)i+DLi=Eexp(jwt) → i={1/(r+R+LD)}Eexp(jwt)
公式により
i={1/(r+R+Ljw)}Eexp(jwt)
={1/√((r+R)²+(wL)²)}exp(-jθ)Eexp(jwt)
={1/√((r+R)²+(wL)²)}Eexp(j(wt-θ))
ここで
1/(r+R+Ljw)={1/√((r+R)²+(wL)²)}exp(-jθ)
θ= tan⁻¹(wL/(r+R))
を使った。
虚部を取って
i={E/√((r+R)²+(wL)²)}sin(wt-θ)・・・・①
(2)
Ri+Li'=Eexp(jwt)
同様に特殊解は、
i={E/√(R²+(wL)²)}sin(wt-θ)、θ= tan⁻¹(wL/R)・・・・②
斉次式の一般解はよく知られており(略)
i=Aexp(-pt) , p=R/L・・・・・③
したがって、非斉次式の一般解は②③の和となり
i=Aexp(-pt)+{E/√(R²+(wL)²)}sin(wt-θ)・・・・④
過渡現象のお約束、Lの電流は連続から、①のとき
i(0)=-{E/√((r+R)²+(wL)²)}sin(θ)・・・・①のとき
i(0)=A-{E/√(R²+(wL)²)}sin(θ)・・・・④のとき
→ A={E/√(R²+(wL)²)}sin(θ)-{E/√((r+R)²+(wL)²)}sin(θ)
=Esinθ{ 1/√(R²+(wL)²) - 1/√((r+R)²+(wL)²) }
したがって
i=Esinθ{ 1/√(R²+(wL)²) - 1/√((r+R)²+(wL)²) }exp(-pt)
+{E/√(R²+(wL)²)}sin(wt-θ)
ここで
p=R/L、θ= tan⁻¹(wL/(r+R))
また
vL=Li'
=Esinθ{ 1/√(R²+(wL)²) - 1/√((r+R)²+(wL)²) }(-p)exp(-pt)
+{E/√(R²+(wL)²)}wcos(wt-θ)
=-(ER/L)sinθ{ 1/√(R²+(wL)²) - 1/√((r+R)²+(wL)²) }exp(-pt)
+{Ew/√(R²+(wL)²)}cos(wt-θ)
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