この図の放物線のグラフはy=-x²+4なのですが、どうやったらこの式を立てられるのか教えて下さい！

この図の放物線のグラフはy=-x²+4なのですが、どうやったらこの式を立てられるのか教えて下さい！

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/08 10:11

放物線(2次曲線)の方程式は

y = a(x+b)^2 + c
という形です。

a ≠ 0 で a > 0 なら下に凸、a < 0 なら上に凸
x = -b が軸で、軸上の頂点の y 座標が c

この場合、上に凸、軸は x = 0 → b＝0、頂点のy座標は 4
なので

y = ax^2 + 4
x = 2 の時、y = 0 なので、
0 = 4a + 4 → a = -1

従って
y = -x^2 + 4

というのが早い。

y = ax^2 + bx + c と置いて
(-2, 0), (0, 4), (2, 0) を通るから
0 = 4a -2b + c
4 = c
0 = 4a + 2b + c
で、c = 4, a = -1, b = 0
の方が立式は楽だが解くのがちょっとだけめんどくさい。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/08 14:08

この図が 放物線 又は 2次関数の曲線 と云う事が分かっているなら。

y=ax²+bx+c と云う式になる筈です。
で、図から x=-2 と x=2 のときに y=0 、x=0 のときに y=2 ですね。
これらを代入すると、0=a(-2)²-2b+c, 0=4a+2b+c, 4=0+0+c ですから、
c=4, b=0, a=-1 と計算できます。
従って 求める式は y=-x²+4 となります。

又は グラフから 2次方程式の解を求めることが分かるなら、
上に凸な放物線ですから x² の係数は 負数で -a とすると、
求める式が y=-a(x-2)(x+2)=-a(x²-4) で x=0 で y=4 ですから、
a=1 が決まり 答は y=-x²+4 となる事が 分かります。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/07 23:05

グラフ y=f(x) が放物線だということがあらかじめ決まっているのかどうかによる。

（f(x)は4次式だったりするかもしれないよ？）
　さて、放物線だとわかっているのであれば、グラフから f(x)=0 の解は x=2 と x=-2 なのだから、
　　 f(x) = a(x - 2)(x + 2) (aは未知数）
であり、
　　f(0) = a(0 - 2)(0 + 2) = 4
より a=-1 だと決まる。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/07 22:59

「上に凸」で「頂点が (0, 4)」の放物線なので、「平方完成形」で

　y = -a(x - 0)^2 + 4
　　= -ax^2 + 4　　　　　（ただし a>0）　　①

と書けます。
（どうしてこう書けるのかは、「上に凸、下に凸」とか「頂点の座標」と「平方完成形」との関係を、教科書を読んで学んでください）

あとは (2, 0) または (-2, 0) の値を代入して
　0 = -4a + 4
よって
　a = 1

従って①は

　y = -x^2 + 4

と決まります。

No.1 回答者： nantokanaru 回答日時： 2023/06/07 21:27

ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ・・・①とおいて、

（ｘ，ｙ）＝（－２，０），（０，４），（２，０）を代入。

ａ、ｂ、ｃに関する連立方程式を解いて、
ａ、ｂ、ｃを求めます。

ａ、ｂ、ｃを①に代入すれば、求める放物線の式が完成です。