{x^2 - 3x + 2 ; x ∈ R} = ｛x ∈ R ; x ≧ -1/4｝

数学初心者です。
『線型代数学』齋藤正彦著（東京図書）の序盤で
{x^2 - 3x + 2 ; x ∈ R} = ｛x ∈ R ; x ≧ -1/4｝
とありましたが、なぜ x ≧ -1/4 なのかよくわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/03 21:50

y∈{x^2 - 3x + 2 ; x ∈ R}

とすると
y=x^2-3x+2となるx∈Rがある

y
=x^2-3x+2
=(x-3/2)^2-1/4
≧-1/4

y≧-1/4
だから

y∈{x ∈ R ; x ≧ -1/4}
だから
{x^2 - 3x + 2 ; x ∈ R}⊂{x ∈ R ; x ≧ -1/4}


y∈{x ∈ R ; x ≧ -1/4}
とすると
y≧-1/4
y+1/4≧0
だから
(3/2)+√(y+1/4)=xとなるx∈Rがある
√(y+1/4)=x-3/2
y+1/4=(x-3/2)^2
y=(x+3/2)^2-1/4
y=x^2-3x+2
だから
y∈{x^2 - 3x + 2 ; x ∈ R}
だから
{x ∈ R ; x ≧ -1/4}⊂{x^2 - 3x + 2 ; x ∈ R}

↓これと{x^2 - 3x + 2 ; x ∈ R}⊂{x ∈ R ; x ≧ -1/4}から
∴
{x^2 - 3x + 2 ; x ∈ R}={x ∈ R ; x ≧ -1/4}

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/02 23:12

{ x^2 - 3x + 2 ; x ∈ R } の x と

{ x ∈ R ; x ≧ -1/4 ｝ の x を混同して
戸惑っているんじゃないだろうか？

どちらの x も、集合を記述する { } の中に束縛された変数だから、
{ x^2 - 3x + 2 ; x ∈ R } = ｛ y ∈ R ; y ≧ -1/4 ｝ のように
名前を変えてしまっても意味は変わらない。

これって、 x ∈ R の範囲で x^2 - 3x + 2 が取る値の範囲と
y ≧ -1/4 の範囲で y が取る値の範囲は等しい って式だから、
要するに x ∈ R の範囲で y = x^2 - 3x + 2 となる y の範囲を求めよ
それは y ≧ -1/4 か？ってことになる。

二次関数の値域は、中学でやったよね？

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/02 22:31

x^2 - 3x + 2=(x-3/2)²-9/4+2=(x-3/2)²-1/4≧-1/4