場合の数、確率 35 鋭角三角形の個数(無限個)D#

Question

本題

未知数でも、2n 個、2n+1 個などと

定まっていれば、解決の糸口は何通りもあるのだが、、、

例えば
https://imgur.com/a/YAKd7wg

うーん、どうしよう

只今、試行錯誤中

識者の方のアプローチも教えてください

以下問題

_______________________________

https://imgur.com/a/M5R0MpE

__________________________

mtrajcp · Accepted Answer

θ=∠AOB
0<θ<π
となるθに対して
図のように
Cが赤の範囲の円周上にあれば
△ABCが鋭角3角形となるから
△ABCが鋭角3角形となる
確率は
{θ/(2π)}{Δθ/π}
だから
3点A,B,Cを円周上から無作為に選ぶとき,
△ABCが鋭角3角形になる確率は

∫_{0～π}{θ/(2π)}(1/π)dθ
=(1/4)[(θ/π)^2]_{0～π}
=1/4

ありものがたり · Answer

円周角が中心角の半分であることから、
円に内接する三角形の内角は
その角が円から切り取る弧の長さに比例する。
このため、鋭角三角形は
３頂点が分割する円弧がどれも半円未満
であることで特徴づけられる。

問題に答えるには、鋭角三角形を数え上げればいいのだが、
正三角形である場合とそうでない場合で少し様相が異なる。
円周を等分する点の総数を N 個として...

(1) N = 2n+1 = 3m+1 (mは自然数) の場合：
３つの円弧を最長のものから時計廻りに見ていくと
(n,n,1), (n,n-1,2), (n,n-2,3), ..., (n,2,n-1),
　　；ここで、(n,1,n) は回転して (n,n,1) と同じになるため含めない
(n-1,n-1,3), (n-1,n-2,4), ..., (n-1,4,n-2),
　　；(n-1,3,n-1) についても同上。
(n-2,n-2,5), (n-2,n-3,6), ..., (n-2,6,n-3),
...
(m+1,m,m).
だけの形があり、それぞれが円上に 2n+1 通りの配置を持つ。
鋭角三角形の総数は、
{ (n-1) + (n-4) + (n-7) + ... + 1 }・(2n+1)
= { (n-1) + 1 }{ (n+1)/3 }（1/2)・(2n+1)
= n(n+1)(2n+1)/6 個。
これを三角形の総数 NC3 = n(2n+1)(2n-1)/3 で割れば、
確率 = { n(n+1)(2n+1)/6 }/{ n(2n+1)(2n-1)/3 }
　　= (n+1}/{ 2(2n-1) } が求まる。

(2) N = 2n+1 = 3m+2 (mは自然数) の場合：
３つの円弧を最長のものから時計廻りに見ていくと
(n,n,1), (n,n-1,2), (n,n-2,3), ..., (n,2,n-1),
　　；ここで、(n,1,n) は回転して (n,n,1) と同じになるため含めない
(n-1,n-1,3), (n-1,n-2,4), ..., (n-1,4,n-2),
　　；(n-1,3,n-1) についても同上。
(n-2,n-2,5), (n-2,n-3,6), ..., (n-2,6,n-3),
...
(m+1,m+1,m).
だけの形があり、それぞれが円上に 2n+1 通りの配置を持つ。
鋭角三角形の総数、および求める確率は、
(1)と同じ計算になる。

(3) N = 2n+1 = 3m (mは自然数) の場合：
３つの円弧を最長のものから時計廻りに見ていくと
(n,n,1), (n,n-1,2), (n,n-2,3), ..., (n,2,n-1),
　　；ここで、(n,1,n) は回転して (n,n,1) と同じになるため含めない
(n-1,n-1,3), (n-1,n-2,4), ..., (n-1,4,n-2),
　　；(n-1,3,n-1) についても同上。
(n-2,n-2,5), (n-2,n-3,6), ..., (n-2,6,n-3),
...
(m+1,m+1,m-2), (m+1,m-1,m), 
(m,m,m)
だけの形がある。(m,m,m) は円上に m 通りの配置を持ち、
それ以外のものは円上に 2n+1 通りの配置を持つ。
よって鋭角三角形の総数は、
1・m + { (n-1) + (n-4) + (n-7) + ... + 2 }・(2n+1)
= (2n+1)/3 + { (n-1) + 2 }{ n/3 }（1/2)・(2n+1)
= (n^2+n+2)(2n+1)/6 個。
この場合の個数は、(1)(2)とは異なる。
求める確率は、
確率 = { (n^2+n+2)(2n+1)/6 }/{ n(2n+1)(2n-1)/3 }
　　= { (n^2+n+2) }/{ 2n(2n-1) } が求まる。

mtrajcp · Answer

円周上を2n等分する
2n個の点から
無作為に3点を選んで
△ABCを作るとき
鋭角3角形になる確率は
(n-2)/{2(2n-1)}

円周上を2n+1等分する
2n+1個の点から
無作為に3点を選んで
△ABCを作るとき
鋭角3角形になる確率は
(n+1)/{2(2n-1)}

だから
n→∞
とすると

lim_{n→∞}(n-2)/{2(2n-1)}
=lim_{n→∞}(1-2/n)/{2(2-1/n)}
=1/4

lim_{n→∞}(n+1)/{2(2n-1)}
=lim_{n→∞}(1+1/n)/{2(2-1/n)}
=1/4

だから
3点A,B,Cを円周上から無作為に選ぶとき,
△ABCが鋭角3角形になる確率は
1/4

場合の数、確率 35 鋭角三角形の個数(無限個)D#

θ=∠AOB

円周角が中心角の半分であることから、

円周上を2n等分する

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