力学のばねの問題について教えて

お世話になります。以下の問題の答えは②とのことなのですが、答えの導出までは書いておらず、理解できずにいます。導出の式をご教示願えますでしょうか。なにとぞ、宜しくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  エンドレスリバー様のご教示いただいた内容で、自分でも検算して納得できました。
  ご教示有難うございました。

    補足日時：2023/07/23 15:16

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/23 08:21

訂正

動摩擦力=静止摩擦力

とする。

この回答へのお礼

エンドレスリバー様
早速のご教示有難うございます。こんなに深い解答の問題だと知らず、感動しました。本当に、勉強になりました。自分の勉強不足を感じています。助かりました。有難う、御座いました。

お礼日時：2023/07/23 14:56

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/23 08:14

固体摩擦力って、知らないので、動摩擦力(f=μ'mg)とする。

　mx''=-kx-f (v≦0)
を解くと
　x-f/k=Acoswt+Bsinwt, w=√(k/m)
　v=x'=w(-Asinwt+Bcoswt)
x(0)=x₀=21, v(0)=0 だから A=x₀-f/k, B=0 となり
　x-f/k=(x₀-f/k)coswt
v≦0 で、v=0となるのは、wt=πだから
　x₁-f/k=(x₀-f/k)cos(π)=-(x₀-f/k) → x₁=-x₀+2f/k
で停止する。

つまり、振幅は 2f/k だけ減少する。振幅は減ったが、未だ
摩擦力よりバネ力が大きいので次の運動が始まる。


つぎに、v≧0 となって、+xの方に運動するが、摩擦力は
反対方向となり、運動方程式を解くまでもなく、振動の振
幅は同様に、
　2f/k=2/0.5=4
だけ減少する。

ここで、振動の最大振幅の位置にあるとき、つまり、停止
したとき、
　f<|kx| → |x|<f/k=1/0.5=2・・・・①
であれば、つぎの移動は怒らず、停止する。

すると、n回の振動後、振幅は
　x₀-n(2f/k)
となるから、①を満たす nは
　x₀-n(2f/k)<f/k → n>(x₀-f/k)/(2f/k)=(21-2)/4=4.75
だから、
　n=5
のとき、バネ力より、摩擦力が大きく、次の移動は怒らず、
停止する。

この時の、位置は1回ごとに、±が反転するから
　　(-1)ⁿ(x₀-2nf/k)=(-1)⁵(21-4・5)=-1[mm]
したがって、解は②となる。

この回答へのお礼

エンドレスリバー様
早速のご教示有難うございます。こんなに深い解答の問題だと知らず、感動しました。本当に、勉強になりました。自分の勉強不足を感じています。助かりました。有難う、御座いました。

お礼日時：2023/07/23 15:23