物理

自分で考えた解き方が間違っているようなのでご指摘お願いします。問題文は以下の通りです。

空気中を伝わる音の速さは，温度が上昇すると速くなる。図のように，地表に平行な平面を境界として温度差があり、無風状態での音速を，境界面より下側でv1、境界面より上側でv2とする。また，境界面より上側では左から右に速度 V の風が吹いている。境界面の下側にある音源から入射角θ1で音の平面波を入射したとき、境界面よりも上側において波は境界面の法線と角度θ2をなす方向に進行する。図において，①②は2つの連続した波面を表し、また，B点はA 点から出た素元波の1周期後の中心を表す。θ1,θ2との関係をv1,v2,Vを用いて表せ。

以下自分の考えです。

風が吹いていないときを考え、屈折角をθとすると、sinθ1/sinθ=v1/v2 ①
画像の紙面右方向をx軸、上方向をy軸とすると、波の速度は(vsinθ,vcosθ)これに風を考慮すると(vsinθ+V, vcosθ)となり、これとy軸のなす角度がθ2なので、tanθ2= vcosθ/vsinθ+V
となり、①も考慮してθを消去すればいいと思うのですが、どうやら違うらしいです。

質問者からの補足コメント

• 申し訳ございませぬ
  自分の考えの四行目からの小文字のvには全て2がつきます

    補足日時：2023/08/05 17:57

• こたえによると　sin(θ1)/sin(θ2) = v1/v2ではないようです。

    補足日時：2023/08/07 07:20

• yhr2さんのご解答は正しいのですが、僕の解答はどこから間違っているのでしょうか？
  また、下側は風が吹いていません。

    補足日時：2023/08/08 20:36

• 手厚いご説明感謝致します。
  理解できました。

    補足日時：2023/08/10 21:07

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/10 00:22

No.6 です。

注記を書きませんでしたが、
「→BC は、→AF を V だけ平行移動したものではない」
というのがポイントです。

「赤」が風がない場合、「緑」が風のある場合です。
境界面から上の素元波の半径は「赤」「緑」とも同じです。「緑」は「赤」を風速分だけ平行移動したもの。
境界面から下は、風があってもなくても同じです。

#6 の図は、「入射波が境界面を通過してから１秒後」を示しています。
その意味で「問題」に示された図とは異なりますが、「相似形」になるのでこの図で理解すれば問題の図を理解したことになると思います。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/09 23:27

No.5 です。

#5 に書いたことを図にしてみましたので、併せて確認してみてください。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/09 01:15

No.3 です。

「補足」について。

＞僕の解答はどこから間違っているのでしょうか？

あなたがどのように考えてそのようにしたのかが分からないので、どこが間違っているのかは指摘できませんよ。

＞風が吹いていないときを考え、屈折角をθとすると、sinθ1/sinθ=v1/v2 ①

これが、θ ≠ θ2 ということで
　sin(θ1)/sin(θ) = v1/v2　　　　(A)
ということなら、屈折の式として間違ってはいないと思います。

ただし、この場合の「θ」とは、図で「B を A の位置に持ってきたときの、素元波の円と①が接する点とのなす角なので θ2 とは異なるし、素元波の中心位置を動かせば角度自体が変化します。


＞波の速度は(vsinθ,vcosθ)これに風を考慮すると(vsinθ+V, vcosθ)となり、

これが間違いでしょう。
上に書いたように、素元波の中心「B」をＡから移動させると、①との接点位置が変わるので「θ」の意味合いが変わってしまいます。


＞これとy軸のなす角度がθ2なので、tanθ2= vcosθ/vsinθ+V

式はおそらく
　tan(θ2) = v2･cos(θ)/[v2･sin(θ) + V]
なのでしょうけれど、上の推論が間違っているので、ここで単純な立式はできないと思います。

ここで必要なのは、図の「境界の上」の「風の影響を受けた素元波」と、図の「境界の下」の①②間の距離、風による影響としての「AB 間の長さ」の関係です。
それをまともに考えていけば #3 のようなものになると思います。

「風の影響」とは「媒体全体が移動して行く」と考えればよいので、「AB のずれ」が風の影響です。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/08/08 10:24

境界面より下側は無風なんだろうか？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/07 10:01

No.2 です。

＞こたえによると　sin(θ1)/sin(θ2) = v1/v2ではないようです。

あ、そうですか。

だったら、少し細かく検討してみましょう。

音波の振動数を f とすると、これは波の連続性から境界面の前後で変わりません。
そうすれば、「素元波の1周期」の時間は T=1/f です。

AB は、この時間で風に流された距離ですから
　AB = V･T　　　①

Ｂを中心とする素元波の円が①と接する点をＣとすると
　BC = v2･T　　　②

この間に境界の下で波が進む距離（①②間の距離）は
　v1･T　　　　③

境界面と①の交点をＤとすると、③は
　v1･T = AD･sin(θ1)　　　④

一方、
　BC = BD･sin(θ2) = (AD - AB)･sin(θ2)
なので、②より
　v2･T = (AD - AB)･sin(θ2)
これに①④を代入すれば
　v2･T = (AD - AB)･sin(θ2)
　　　= [v1･T/sin(θ1) - V･T]･sin(θ2)
よって
　v2/sin(θ2) = v1/sin(θ1) - V
もしくは
　v2/sin(θ2) + V = v1/sin(θ1)

かな。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/05 23:10

＞境界面よりも上側において波は境界面の法線と角度θ2をなす方向に進行する

この θ2 は「入射位置における屈折角」ではなくて、あくまで「風と共に一定速度で移動している媒体」の屈折角です。

従って、風速は関係なく
　sin(θ1)/sin(θ2) = v1/v2
でよいのでは？

風速による影響は「素元波の中心」が「A→B」に移動することですから。

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2023/08/05 14:49

問題文をよく読みましょう。

領域１と領域２の音速はそれぞれv1, v2と書いてありますが、あなたの解き方ではどちらも同じ速度vになっています。