円

x^2＋y^2＝9 の接線で、直線4x＋3y＋1に平行なものの方程式をもとめよ。
って問題で、答え＆解法もわかるのですが、
私のやり方はとても、合理的とはいえず、かなり時間がかかってしまいます。この問題をより簡単に解くにはどうすればよいでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： pacha2#2 回答日時： 2005/04/28 01:45

直線4x＋3y＋1＝0に平行と考えていいのでしょうか？

まず、平行な直線を考えればよいので、定数項の１はどうでもよく、求める直線は
4x＋3y＋a＝0とおけます。
これを、y＝～の形に変形し、x^2＋y^2＝9に代入してやれば、aを含むxの二次式が出てきますね？
直線と円が接するので、この二次式が重解をもてばよいので、判別式＝０とすれば、aの値が求まり、直線が求められます。

No.9 回答者： scale--free 回答日時： 2005/04/28 17:30

(a,b) を 円 x^2＋y^2＝9 上の点としましょう。

このとき、(a,b) における接線の方程式は、
ax+by=9
です。この公式は教科書に載っていますよ。

従って、これが直線 4x＋3y＋1=0 と平行になるには、
a : b = 4 : 3
でなくてはなりません。つまり、a=4b/3です。

ここまでくれば後は簡単ですね。。。。

この回答へのお礼

皆さん、ありがとうございました。

お礼日時：2005/05/02 03:38

No.8 回答者： springside 回答日時： 2005/04/28 09:46

解法は２通りありますね。

求める直線を4x+3y+k=0とおく（kは定数）。

解法１：
直線の方程式をy=(-4/3)x-(1/3)kと変形し、円の方程式x^2+y^2=9に代入してできたxの２次方程式が重解を持つようにkの値を定める（判別式=0ということです）。
（注：重解を持つというのは、円と直線が接するからです。）

解法２：
円の中心（0,0）から直線4x+3y+k=0までの距離が、円の半径3に等しい、ということから、点と直線の距離の公式を用いて、
|4*0+3*0+k| / √(4^2+3^2) = 3
となるため、これによってkを求める。

No.7 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/28 08:02

公式

参考URL：http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack2/a/ki …

No.6 回答者： age_momo 回答日時： 2005/04/28 06:24

#5です。

書き間違えました。

4x+3y=±15

です。

No.5 回答者： age_momo 回答日時： 2005/04/28 06:21

図形を描いて見ると、接線と円の半径で直角三角形の相似より(0,5),(0,-5)を通りますので

4x+3(y±5)=0

4x+3y=±5

ですね。

No.4 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/04/28 02:38

直線:4x+3y+1=0

からy=の形にして、
直線の傾きが、-4/3だとわかる。
なので、この直線が接する所の点と原点との傾きは、
4/3だとわかる。
直角三角形３：４：５から
５にあたる部分が、３（半径）なので、
(x,y)=(3*4/5,3*3/5)がわかる
（もう一つの接点は符号を反転すればよい）
直線の通る点と傾きがわかったので、直線の方程式が作れる。

No.3 回答者： Ta595 回答日時： 2005/04/28 02:18

こんにちは。

やっていることは#1さんと基本的に同じです。
ちなみに，aおよびbはある数値を表します。

(1)円周上の点(X,Y)を通る接線の傾きをXとYであらわす
　　（円の接線の傾きの性質を知っていればすぐですよね？）

(2)これが4x+3y+1=0の傾きaと同じであることから
X=bYと記述できる

(3)また，(X,Y)は円周上にあるから，もちろん，X^2＋Y^2=9
　　ここに(2)の結果を代入してXまたはYを消去すると，非常に単純な方程式。これを解くと点が二つ。

(4)(3)の解が示す点を通る傾きaの直線の方程式を二つ記述。これが答え。

という感じだと思うのですが。

No.1 回答者： nayuta_k 回答日時： 2005/04/28 01:34

benefactor_geniuさんが、どういう回答でやったかわかりませんが、、、

4x+3y+1=0 ・・・(i)

(1)(i)に垂直な直線で原点を通る式を求める・・・(ii)
(2)(ii)の直線と円との交点P、Qを通り(i)に平行な直線を求める。

という方法になると思いますが、、、