数A 赤玉5個と白玉10個が入っている袋の中から無作為に1個ずつ取り出す操作を続ける、、取り出した玉

数A

赤玉5個と白玉10個が入っている袋の中から無作為に1個ずつ取り出す操作を続ける、、取り出した玉は袋には戻さないものとする。このとき、赤玉が先に袋の中からなくなる確率を求めよ。

解：5C5 × 10C9 / 15C14 = 2/3

反復試行のnCr(p)^r(1-p)^n-rの公式で解いては行けない理由は何ですか？
確かに答えがあいません。
違いはなんですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ラズ91 回答日時： 2023/08/19 20:18

提供いただいた解答は正しいですが、なぜ反復試行の公式が適用できないかについて説明します。

反復試行の公式で計算する場合、nCr(p)^r(1-p)^n-r は、r回成功する確率を計算するための式です。この場合、成功は赤玉が取り出されることで、確率pは 5 / 15 です（初めの1回のみ）。しかし、問題文では赤玉を取り出した後に袋に戻さないという制約があるため、反復試行の公式をそのまま適用することはできません。

逆に、問題の解法は、赤玉が先に取り出される確率を順番に考えることによって求められます。最初に赤玉が選ばれる確率は 5 / 15 です。次に、赤玉が選ばれた場合、袋に残る赤玉は4個、袋に残る玉の総数は14個になります。したがって、次に赤玉が選ばれる確率は 4 / 14 です。これを続けて計算していくことで、最終的に赤玉が先に袋からなくなる確率を求めることができます。

つまり、反復試行の公式は、同じ試行を繰り返す場合に適用されるものであり、取り出したものを戻さない場合には適用できないという違いがあります。

この回答へのお礼

解決しました。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/08/20 12:03

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/19 22:52

解

5C5=1
10C9=10C(10-9)=10
15C14=15C(15-14)=15
∴解=1・10C1/15C1=1・10/15=2/3
これはNo4が言われているように確率は同様に確からしいから
1回目に白と同じになる
反復試行の件は皆さんの言う通り

No.4 回答者： hondarawa 回答日時： 2023/08/19 21:36

考え方を変えてみると、簡単になります。

赤球が先になくなる確率とは、15個すべてを取り出して最後が白の確率です。
さて、１5個取り出すとして、１個目が白の確率は2/3ですよね。
で、特定の色が特定の場所に出るやすいという事があるでしょうか？
あるわけがないですよね。
だから１個目が白の確率も、15個目が白の確率も同じ2/3です。
つまり赤が先になくなる確率は2/3、数式不要です。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/19 21:07

もっとスマートに・・・。

「赤球が先になくなる確率」なんでしょ？
つまり15個を並べて見て、最後の一個が白であればこれは成立します。
色々な並べ方があるけど、途中はどうでも良くて、とにかく最後の一個が白であればよいわけだから・・・・。

14C5／15C5=2/3

袋に戻さないのだから、反復試行のnCr(p)^r(1-p)^n-rの公式は使えません。

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/08/19 19:59

最初に取り出す確率（最初に赤玉を取り出す確率と最初に白玉を取り出す確率）が1/3と2/3の場合、先に無くなる確率（赤玉が先に無くなる確率と白玉が先に無くなる確率）はそれぞれ逆数になります。

具体的には、最初に赤玉を取り出す確率が1/3（0.3333...）なら、赤玉が先に無くなる確率はその逆数である3/1（または3）になります。同様に、最初に白玉を取り出す確率が2/3（0.6666...）なら、白玉が先に無くなる確率はその逆数である3/2（または1.5）になります。

このように、最初に取り出す確率と先に無くなる確率は逆数の関係になります。