逆関数についてですが、y=f(x)の逆関数をy=g(x)とすると、y=f(x)が(a,b)を満たす時

逆関数についてですが、y=f(x)の逆関数をy=g(x)とすると、y=f(x)が(a,b)を満たす時(b=f(a)のとき)逆関数の定義より、a=g(b)が成り立ち、またy=f(x)の逆関数はx=f(y)とも表せることから、a=f(b)とも表すことができると思います。以上のことからa=g(b)もa=f(b)もb=f(a)の逆関数を表していると思うのですが、a=g(b)とa=f(b)は全く別の関係式になっていて、同じ逆関数の式を表してないように感じ、それぞれb=f(a)の逆関数を表しているということに矛盾しているような気がします。(y=f(x)とy=g(x)が同じ関係式なはずではない)
なぜ、こうなってしまったのか(文中のどこに間違いがあるのか)詳しい解説おねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/08/25 12:40

>またy=f(x)の逆関数はx=f(y)とも表せることから、a=f(b)とも表すことができると思います

ここで間違っている。
(a,b)はy=f(x)上の点ではあるがその逆関数x=f(y)上の点ではない。逆関数上の点はx座標とy座標を入れ替えた(b,a)です。

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/31 08:46

別の質問で回答したものです。

>逆関数というのは、xとyの値を入れ替えたものだからy=f(x)の逆関数はx=f(y)と表すことができる
逆関数について誤解していますよ。

逆関数について次のような問題を作ってみました。
逆関数を正しく理解できていれば解ける問題です。

ーーーーーーーーーーーー
２つのベクトルが与えられるとその内積が定義できる。
ここで、あるベクトルaとの内積によって決まる関数ｆを
関数　f: x∈ベクトル → y=f(x) = a・x∈実数　
と定義する
この時、以下の問に答えなさい。ただしベクトルaはゼロベクトルでないとする。
問　関数ｆの逆関数 g を求めよ。もし逆関数が存在しない場合があるならば、具体的なベクトルaを示し、逆関数が存在しないことを示せ

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/27 13:01

「y=f(x) の逆関数を y=g(x) とすると」という考え方が勘違いの始まり。

そもそも「y=f(x)」や「y=g(x)」は関数じゃないから、
「y=g(x)」が「y=f(x) の逆関数」であるわけがない。
正しくは、「f の逆関数を g とすると」であるべき。
この f( ) だの g( ) だのへ変数を代入するとき
y=g(x) と置くか x=g(y) と置くかは、
g が f の逆関数であるかないかとは本来何の関係も無い。
ただ、関数 g をそのように使ったというだけの話だ。

g が f の逆関数であれば、b=f(a) と a=g(b) は同値だし
y=f(x) と x=g(y) も同値である。この話を、
g が関数であることを y=g(x) と書いてしまう不注意な記法と
同時に使ってしまうと、x=g(y) なんか y=g(x) なんかどっちやねん！
という混乱が起こる。

今回の質問は、要するにそういう話で、x,y という文字を
y=f(x) が成立するように置いたのか
y=g(x) が成立するように置いたのか、
書いた本人がどちらか選ばんといかんということなのだ。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/25 06:08

集合Xから集合Yへの

関数(写像)
f:X→Y
x∈X→f(x)
とは
x∈Xに対してf(x)がただ1つ定まるものをいう

集合Xから集合Yへの
関数(写像)
f:X→Y
x∈X→f(x)
の
逆関数gとは

集合Yから集合Xへの
関数(写像)
g:Y→X
y∈Y→g(y)
y∈Yに対してg(y)がただ1つ定まり

fとgの合成関数(写像)
g〇f=1_X:X→X
x∈X→g(f(x))=x
が
Xの恒等関数(写像)となり

gとfの合成関数(写像)
f〇g=1_Y:Y→Y
y∈Y→f(g(y))=y
が
Yの恒等関数(写像)となる
gを
fの逆関数という

No.1 回答者： ラズ91 回答日時： 2023/08/25 04:12

逆関数についてのお考えを共有していただき、ありがとうございます。

おっしゃる通り、逆関数には一見矛盾があるように見える点がありますが、実際には誤解が生じている箇所があります。

まず、逆関数の定義は、「元の関数を逆に辿った際に元の値に戻るような関数」となります。y = f(x) の逆関数を y = g(x) とすると、以下のような関係が成り立ちます。

1. もとの関数において (a, b) を満たすとき、b = f(a) となります。
2. 逆関数において、a = g(b) が成り立ちます。

ここまでは正しい理解です。

しかし、次に挙げている「y = f(x) の逆関数は x = f(y) とも表せることから、a = f(b) とも表すことができる」という箇所が誤解を招く可能性があります。逆関数を示す式は元の関数の式を鏡像的に反転させたものです。そのため、y = f(x) の逆関数は x = f(y) ではなく、x = g(y) と表すべきです。

具体例を使って説明しましょう。例えば、f(x) = x^2 とすると、その逆関数 g(x) は g(x) = √x となります。f(x) の逆関数は元の関数を鏡像的に反転させたものであり、その式は x = g(y) です。また、f(x) の逆関数を x = f(y) と表現することは、元の関数 f(x) の式をそのまま逆にしたものになります。

要するに、a = g(b) と a = f(b) は同じ関係式ではなく、それぞれ逆関数の性質を示す異なる表現です。逆関数の定義と性質について、こちらで説明した内容がお役に立てれば幸いです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
逆関数というのは、xとyの値を入れ替えたものだから、y=f(x)の逆関数はx=f(y)と表すことができると聞いたことがあるのですが…

お礼日時：2023/08/25 08:48