x^3+4095=2^nを満たす自然数(x,n)の組をすべて求めよ

鮮やかな解法がありましたら、教えてください。

No.6 ベストアンサー 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/07 10:58

鮮やかな解法は難しい。

4095が2,3個の素数で素因数分解出来るなら、割りとスンナリですが、
4095=3･3･5･7･13なので、a×bの形が沢山あって複雑。
が、この方法しかないのカモ。

No.3様、No.4様の(x² + 3x + 3)が奇数なので、
x-1= 2¹²、x²+3x+3=2ⁿ⁻¹²-1 と言う論法は変なのです。
(No.3様は気が付きました）。

例えば、aが偶数でbが奇数の場合
a×b=2⁷-2³=2³(2⁴-1)なので、a=2³ b=(2⁴-1)とは言い切れないです。
2³(2⁴-1)=2³×3×5なので、a=2³×3、b=5かも知れないし、a=2³×5、b=3かも知れない。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/06 16:41

#3です

x-1=2^12
x^2+x+1=2^(n-12)-1
となるとは限らないので
#3の回答を取り消します

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/09/06 10:01

4095≦2^n

より、n≧12である。

[1] n = 12の場合
　　(x,n) = (1,12)は解。

[2] n＞12の場合
　　y = x - 1
とおいて
　　(y + 1)^3 + (2^12) - 1 =2^n
が解を持つと仮定する。
　左辺第1項を展開して整理すると
　　y(y^2 + 3y + 3) = (2^(12-n) - 1)(2^12)
ここで(y^2 + 3y + 3)が奇数なので
　　y = 2^12
両辺をyで割って移項すると
　　y^2 + 3y + 4 - 2^(12-n) = 0
（yの値は分かってるんだけど、）「yが未知数であるフリ」をしてyの二次方程式だと思うことにすると、この方程式は実解（y = 2^12）を持つので、判別式Dが非負でなくてはならない。
　　D = -7 + 2^(14-n) ≧ 0
　　2^(14-n) ≧ 7
だから
　　n ≦ 11
であり、n＞12を満たさないから矛盾。
というわけで、n＞12である解はない。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/06 06:16

x^3+4095=2^n

2^12=4096=4095+1^3
だから
x=1
n=12

n>12と仮定すると
1^3+4095=2^12
x^3+4095=2^n
x^3-1=2^n-2^12=2^12{2^(n-12)-1}
(x-1)(x^2+x+1)=2^12{2^(n-12)-1}
xが奇数のときx^2+x+1は奇数
xが偶数のときx^2+x+1は奇数
x^2+x+1は奇数だから
x-1=2^12
x^2+x+1=2^(n-12)-1
x=2^12+1
(2^12+1)^2+(2^12+1)+2=2^(n-12)
2^24+2^13+2^12+4=2^(n-12)
4(2^22+2^11+2^10+1)=2^(n-12)
2^22+2^11+2^10+1=2^(n-14)
n≠14と仮定すると
左辺は奇数右辺は偶数で矛盾するから
n=14
2^22+2^11+2^10+1=1
となって矛盾するから
∴
n=12
x=1

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/05 21:02

2¹⁰=1024 ですから 2¹²=4096 で、x=1, n=12 は分かりますが。

後は 1桁目に 注目して 場合分けかな？

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/05 20:51

数オリのヒネリかい？

この回答へのお礼

はい、そうです。

youtubeで有名人が解いてました。

お礼日時：2023/09/05 21:13