数学 確率変数Xは、X＝2またはX＝aのどちらかの値を取るものとする。確率変数Y＝3X+1の期待値か

数学

確率変数Xは、X＝2またはX＝aのどちらかの値を取るものとする。確率変数Y＝3X+1の期待値か10で分散が18であるとき、aの値を求めよ。
　　　　　　　　　　
↑解説お願いします(;O;)

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/14 12:09

No.2 です。

解決しませんか？

分からないところ、納得できないことがあれば「補足」に挙げてください。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/09 00:53

「期待値」「分散」の定義に従って計算すればよいだけ。

何がわからないのですか？

＞X＝2またはX＝aのどちらかの値

確率は 1/2 ずつということかな？
それであれば「期待値が10」だけで決まってしまうので（a=18）、多分違うのでしょう。

「X=2 である確率が p」ということにしましょう。
だとすれば、X=a である確率は (1 - p)。

従って
・X=2 のとき Y=7、その確率は p
・X=a のとき Y=3a + 1、その確率は 1 - p

よって、

・Y の期待値
　7p + (3a + 1)(1 - p) = 10
→　(6 - 3a)p + 3a - 9 = 0
→　(a - 2)p = a - 3
→　p = (a - 3)/(a - 2)　　　①

・Y の分散（「ばらつき = 平均との偏差の2乗」の平均）
　p(7 - 10)^2 + (1 - p)(3a + 1 - 10)^2 = 18
　→　9p + (1 - p)(9a^2 - 54a + 81) = 18
　→　p + (1 - p)(a^2 - 6a + 9) = 2
　→　(a^2 - 6a + 8)p = a^2 - 6a + 7
　→　(a - 2)(a - 4)p = a^2 - 6a + 7　　　②

①を②に代入して
　(a - 3)(a - 4) = a^2 - 6a + 7
→　a^2 - 7a + 12 = a^2 - 6a + 7
→　a = 5　　　　　　　　　　　　←これが答


検算してみれば
①より　p = 2/3　なので
・X=2 のとき Y=7、その確率は 2/3
・X=5 のとき Y=16、その確率は 1/3
これで、
・期待値は
　7*(2/3) + 16*(1/3) = 14/3 + 16/3 = 30/3 = 10
・分散は
　(7 - 10)^2 *(2/3) + (16 - 10)^2 *(1/3)
= 18/3 + 36/3
= 54/3
= 18
合ってますね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/09/08 23:01

どこに解説が必要ですか?