数学:図形問題について 先日、写真の図形問題をインスタのリール動画で見かけ、気になって解いてみるも全

数学:図形問題について
　先日、写真の図形問題をインスタのリール動画で見かけ、気になって解いてみるも全く分からず、試行錯誤していましたがそれでも分かりません。
　どなたか解けた方は解答解説をお願いします。また、0≦x≦66が解ではないか、と言う指摘も元動画のコメント欄にてされていました。xが求まるかどうかの証明(求められない理由)が分かった方はそちらをお願いしたいです。
　ちなみに元動画のコメント欄ではx＝33°、21°、42°等様々な意見があり、特に多い答えなどはありませんでした。

質問者からの補足コメント

• どの方の説明も高度すぎて自分には完璧な解釈が出来かねます、、
  皆さん親切な回答ありがとうございました。
  個人的に自分の1番分かりやすいと感じた回答をベストアンサーとさせていただきます。

    補足日時：2023/09/23 18:50

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/13 11:14

図の通り

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/12 20:42

質問者808様申し訳ないですが、 「ありものがたり」様の問い掛けに投稿します。

回答では無くて申し訳ない。

この問題は昔、ラングレーの問題(フランクリンの凧)の次にからかった記憶があり回答しました。

前の回答の図は、3角形は必ず円に内接するので、延長線と円周の交点をとって全部の6点を繋ぐと、6角形になる。
という物です。

が、逆に考えて交点が円に内接する6角形の対角線の交点になりうるか、で考えました(昔です)。
6°、12°、42°、54°は与えられてるので、公約数6°。
円周角は中心角の半分なので、6角形の頂点は、円周の30等分のどこかの位置にある筈だ、が前提です。

x=42°、隣を24°と仮定すると、チェバの定理が成立ち、6角形の対角線は1点で交わる。
上記の仮定でCE = DCとなりますが、CE≠DCとすると、AF･BD･CE≠FB ･DC･EAとなり、6角形の対角線は1点で交わらない。

∴x=42°、隣は24°
円周を30等分した場合の分配は以下の通りです。

図形は昔を思い出して、回転して有ります。
図形として解けそうな気がしますが、上手い2等辺△や正△が作れず断念してます。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/12 14:44

←No.4

「正弦定理より計算すると」の計算を教えてほしいな。
そのチェバの定理の式を正弦定理を使って書き換えると、
No.3 の最初の式になる。そこからナイーブに計算すると、
先に書いたような答えになってしまう。あれが = tan42°
にキレイにまとまる過程は、是非見てみたい。

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/11 14:28

これは図形で求めようとしても難しいです。

弦に関するチェバの定理と正弦定理を使えば42°が求まります。

3角形は円に内接するから3個の角の頂点は円周上なので円を書く。
図で中で3線が交わってる線を延長して円との交点を求め、円周上の6点を繋ぐと、6角形になる。

下図で
AF･BD･CE=FB ･CD･EA　←　チェバの定理

△ABC の外接円直径を 1 として，正弦定理より計算すると
∠BCF=∠BAD=42°

∠BCF＝xだったから、ｘ=42°

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/11 14:17

No.1 のやり方で...

x の隣の角の大きさを y と置く。
３個の小三角形でそれぞれ正弦定理の式を立てて、
そこから辺の比を消去すると
(sin42°/sin54°)(sin y/sin6°)(sin 12°/sin x) = 1 となる。
大きな三角形の内角の和を考えると x + y = 66° が判るから、
y を代入消去すれば sin(66°-x)/sin x = (sin54° sin6°)/(sin42° sin12°).
左辺に sin の加法定理を使うと
- cos66° + sin66°/tan x = (sin54° sin6°)/(sin42° sin12°).
一次方程式を解いて、tan x の値が判る。
tan x = sin66°/{ (sin54° sin6°)/(sin42° sin12°) + cos66° }.
あとは、tan^-1 を両辺に施して、 x = ...
ま、これでも x が求まったには違いない。

図形的に考えるときには、
x + y = 66° = 54° + 12° が何か使えるのかな？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/11 11:16

x=42°

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/11 02:37

とりあえず、左上の辺の長さを固定して

42° の角と 54° の角、
42+6° の角と 54+12° の角 を作図すれば、
中央の点と右端の点の位置が一意に決まることは明らか。
その証明は、二角挟辺相等による合同。
よって、 x の値はひとつに決まる。

さて、値はどうやって求めようか？
x の隣の無名の角の大きさを y として
３個の小三角形で正弦定理の式を立てるのと、
大きな三角形の内角の和の式とで、
x についての三角方程式が立てられそうだが...