線型独立の説明について

ここの(i)で線型独立になるという説明が腑に落ちません、a1.a2.a3がゼロでなくても成立する可能性はある様に思えるんですが・・・

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2023/09/13 12:02

二次式がなす空間ってのが抽象的すぎてピンとこない、ってことですかね。

ならば「二次関数がなす空間」と言い換えたらどうでしょうか。
　　f(x) = ax² + bx + c
という形の関数を考え、ただしa, b, cは実数。a=0（一次関数）や, a=b=0 (定数関数）も含めて、関数の集合
　　F = { f | f(x) = ax² + bx + c}
について考えてみる。（この集合の要素は関数そのものであって、数値ではない、ということに注意。）

[1]　k∈実数によるスカラー倍 k＊fを
　　　(k＊f)(x) = k f(x)
と定義する。（左辺は関数fに実数kを＊演算で作用させて得られる関数(k＊f)を、二次式で表したもの。右辺は関数fを二次式で表したものに、実数kをフツーに掛け算している。）当然
　　∀f∀k((f ∈ F かつ k∈実数) ⇒ kf ∈ F}
である。特に k=0 のとき
　　(0＊f)(x) = 0x² + 0x + 0
だから
　　f(x) = 0x² + 0x + 0
という定数関数もFの要素である。この定数関数を「零」と呼ぶことにする。

　また、関数同士の足し算 f➕g を
　　(f➕g)(x) = f(x) + g(x)
と定義する。（左辺は関数fと関数gを➕演算で足して得られる関数(f➕g)を、二次式で表したもの。右辺は関数fと関数gをそれぞれ二次式で表したもの同士を、フツーに足し算している。）すると
　　∀f∀g((f ∈ F かつ g∈F)⇒ f➕g∈ F}
である。もちろん
　　∀f(f ∈ F ⇒ f➕零 = 零➕f = f)
である。
というわけで、Fは（零元を零, 和を➕, スカラー倍を＊とする）ベクトル空間になっている。

[2]Fの要素である関数同士が等しいのはどういう場合か。f=g、関数f, gが等しいというのは、言い換えれば、
　　どんなxについても f(x) = g(x)
ということ（既に出ている回答で「恒等式だ」と指摘されているのはこのことです。）そこで
　　f(x) = ax² + bx + c
　　g(x) = px² + qx + r
とすると、明らかに
　　 f = g ⇔ (a = p かつ b=q かつ c=r)
である。
　というわけで、
　　f（∈F）は 三次ベクトル (a, b, c) と1:1で対応
している。なのでFと(実数)³ とを同一視してよろしい。
　同一視というのはどういうことかというと、ベクトル(a,b,c)はすなわち
　　f(x) = ax² + bx + c
を満たす関数fのことでもある。また
　　f(x) = ax² + bx + c
と二次式で表せる関数fはすなわち(a,b,c)という三次元ベクトルのことでもある。特にFの零元 零
　　零(x) = 0x² + 0x + 0
はベクトル(0,0,0)と対応している。
　関数空間Fでの「零元を零, 和を➕, スカラー倍を＊」というのが、この三次元ベクトル空間での「零元が0ベクトル(0,0,0)、和が+、スカラー倍が·」に対応していることも容易に示せるでしょう。

[3] 以上の準備で、ようやく写真にある話が始まる。

[4]余談ながら
　(1) Fを二次式に限定する理由はなくて、一般にn次式でも、同じようにn次元ベクトルと1:1対応することは明らか。
　(2) Fの内積●を決めると、直交基底が定義できる。内積をどう決めるかは色々選べるが、例えばf∈Fを実数xに関する関数だとみなして
　　f●g = ∫{|x|≦1}(f(x) g(x) / √(1 - x²)) dx
と定義しても良い。例えばFが4次式の空間なら、この内積●で決まるn次元ベクトル空間の正規直交基底は
　　(0,0,0,0,1)
　　(0,0,0,1,0)
　　(0,0,2,0,-1)
　　(0,4,0,-3,0)
　　(8,0,-8,0,1)
と取れる。（「チェビシェフの直交多項式系」という名前がある。）

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/09/12 23:17

話が見えない。

元の話を何故書かない？？？？？
u₁、u₂って何?

No.4 回答者： 確変 回答日時： 2023/09/12 21:14

これ ↓ と同じ質問だね.

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

その画像では, 解答と解説の部分しか見えない.
そもそも, どういう問題なのか.
"2次式の集合である線形空間 V" と書かれているが, V は本当に線形空間なのだろうか.
そうだとすれば, V の零ベクトル 0 は 2次式であるはずだが.

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/12 16:52

xの解を求める問題じゃ無いですよ。

任意のxに対して、常に=0になるには？　ですよ。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/12 15:21

「方程式」ではなくて「恒等式」ですよ。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/12 14:51

a₁ x² + a₂ x + a₃・1 = 0 は、

その式が任意の x について成り立つ
という意味やで？
右辺の 0 は、1個の実数じゃなく、定数関数 0 の意味だから。
だから、a₁ x² = a₂ = a₃ = 0 と同値になる。