環論

ネーター環のイデアルの昇鎖律の具体例を示していただけないでしょうか
よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/26 20:49

例でいいの？

環が有限環だと、そもそも部分環の総数が有限だから、
全てのイデアルも有限で、イデアルの昇鎖も有限列になる。
具体的に環 Z/12Z に対して、イデアル昇鎖は
{0} ⊂ 4(Z/12Z) ⊂ 2(Z/12Z) ⊂ Z/12Z,
{0} ⊂ 6(Z/12Z) ⊂ ３(Z/12Z) ⊂ Z/12Z
が全てであり、
昇鎖は全て有限鎖である。

この回答へのお礼

よくわかりましたこれでスッキリしました本当にありがとうございました

お礼日時：2023/09/26 21:09

No.2 回答者： Andro 回答日時： 2023/09/26 19:02

#1のオリジナル

https://sl.bing.net/bWZs8d9fVTw

こちらはBingの回答です。BingアプリかEdge、またはMicrosoft Bing for (ブラウザ名)で拡張したブラウザでご確認ください。

この回答へのお礼

よくわかりませんでした

お礼日時：2023/09/26 21:15

No.1 回答者： Andro 回答日時： 2023/09/26 19:00

ネーター環は、イデアルの昇鎖が停留する可換環です¹。

ネーター環のイデアルの昇鎖律によれば、ネーター環においては、イデアルの昇鎖は有限回で停止します¹。

具体例として、以下のようなネーター環とイデアルの昇鎖律を考えてみましょう。

**例**: $R$ を整域とし、$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset \ldots$ を $R$ のイデアルの昇鎖とします。このとき、$R$ がネーター環であれば、ある正整数 $n$ が存在して、任意の $i \geq n$ に対して $I_i = I_n$ が成り立ちます。

この具体例では、整域 $R$ のイデアルの昇鎖がある段階から停止することが分かります。このような性質を持つネーター環は、多くの数学的な応用において重要な役割を果たしています。

ソース: Bing との会話 2023/9/26
(1) ネーター環 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC …
(2) ネーター環でない例 - Takatani Note. https://takataninote.com/ring2/noether.html
(3) 主イデアルに関する昇鎖条件 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E3%82%A4 …
(4) ネーター環の定義と性質 - Irohabook. https://www.irohabook.com/noetherian-ring
(5) 昇鎖条件 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%98%87%E9%8E%96 …
(6) undefined. https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077475897

この回答へのお礼

色々ネットを挙げて頂きありがとうございます
私にはわかりませんでした

お礼日時：2023/09/26 21:14