aを正の実数として、C1:y=x^2、C2:y=x^2 -2ax +a(a+1)とする。またC1C2

aを正の実数として、C1:y=x^2、C2:y=x^2 -2ax +a(a+1)とする。またC1C2の両方に接する直線をlとする。このときC1、C2、lで囲まれ図形の面積を求めよという問題が分かりません。答えはa^3/12です。

教えていただきたいです

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/09 13:15

なんたら公式を使ったお洒落な解法もあるかもだけど、

ふつーに解けばいいんじゃない。
簡単な問題は、簡単に処理するのが一番。

まず、C1 と C2 は唯一の交点を持ち、その x座標は
C1, C2 を連立した方程式の解 x = (a+1)/2 である。

共通接線 l と C1 との接点の x座標を t,
C2 との接点の x座標を u と置くと、
それぞれの接線の式
y = (2t)(x - t) + t^2 と
y = (2u-2a)(x - u) + u^2 -2au + a(a+1) が
一致するから、係数を比較して
2t = 2u - 2a,
-2t^2 + t^2 = -(2u-2a)u + (u - a)^2 + a.
連立方程式を解いて、
t = 1/2,
u = 1/2 + a.
よって、共通接線は
y = x - 1/4.

求めたい面積は、
∫[t,(a+1)/2]{ x^2 - (x - 1/4) }dx + ∫[(a+1)/2,u]{ (x - a)^2 + a - (x - 1/4) }dx
= (1/12)a^3.