バネの位置エネルギー

弾性力の位置エネルギーを求めたいのですが、
下記①②の結果が一致しないのは何故ですか？

ばねにおもりが釣り下げられ、静止してます。
①フックの法則によりF=kx
k バネ定数
x ばねの伸び
加わる力Fは重力なのでmg=kx
バネ定数が分からない場合、k=mg/xにより求まるのでこれを弾性力の位置エネルギーの式1/2kx²に代入し、1/2mgx

②ここで別な解き方を考えます。
重力の位置エネルギーが下がり弾性力の位置エネルギーが上がったと考えると、
1/2kx²=mgx
①と答えが変わります。なぜ違うのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/09 16:22

>「加わる力Fは重力なのでmg=kx」

↑式はたまたま合っているが、考え方は間違い。<

●当然、間違っていない。まさか、mg=kx という式を mgとkx
は同じもの、などと曲解したのか? ひねくれすぎている。

この回答へのお礼

フォローありがとうございます。

お礼日時：2023/10/09 18:38

No.6 回答者： ask001 回答日時： 2023/10/09 17:26

No.4です。

> ●当然、間違っていない。まさか、mg=kx という式を mgとkx
は同じもの、などと曲解したのか? ひねくれすぎている。<

誤解を招く言い方してしまってすみません。
文中で述べている通り、式は合っています。

厳密には「加わる力は重力なので」が表現として微妙かなと思いました。（重りに）加わる力は重力とばねの弾性力の合力であるという意味で。

わざわざ取り立ててここを突くのは、②で弾性力による位置エネルギーと重力による位置エネルギーをイコールで結んでいたからです。
弾性力により蓄えられるエネルギーを、単に重力のした仕事の逆、という風に捉えてしまっていないかな、という懸念からです。

失礼しました。

No.4 回答者： ask001 回答日時： 2023/10/09 13:37

結論から言うと、①も②もすれぞれ間違いを含んでいます。

まず①

「①フックの法則によりF=kx
k バネ定数
x ばねの伸び」

↑ここまで正しい

「加わる力Fは重力なのでmg=kx」

↑式はたまたま合っているが、考え方は間違い。
おもりには、重力による下向きの力とばねによる上向きの力の両方が加わっていて、両者は全く別物です。
mg=kxとなるのは、加わる力Fが重力だからではなく、重力W=mgと、ばねによる力F'=kxが釣り合っていて、W=F'となるからです。

「バネ定数が分からない場合、k=mg/xにより求まるのでこれを弾性力の位置エネルギーの式1/2kx²に代入し、1/2mgx」

↑最終的にはこれでOK。mg=kxが正しいので、ここも数式的には正しくなりました。



次に②

「②ここで別な解き方を考えます。
重力の位置エネルギーが下がり弾性力の位置エネルギーが上がったと考えると、」

↑言っていることは合っています。が、①での議論の展開を見る限り、恐らく質問者さんは、”重力の位置エネルギーが下がった分だけ、弾性力の位置エネルギーが上がって、プラスマイナスゼロになった” という勘違いをなさっているかと思われます。多分そうですよね？

実際は、
・重りがx[m]下降したことで、重りの位置エネルギーUは、U=mgx[N•m]だけ減少した。

・ばねが自然長からx[m]伸びたので、①で求めた通り、重りの弾性力による位置エネルギーU'は、U'=(1/2)kx²だけ増加した。

という2つのエネルギーの増減が別々で起こっています。
よって、重りに蓄えられたエネルギーは、プラスマイナスゼロではなく、U'-U={(1/2)kx²} - (mgx) だけ増加した、ということになります。

したがって結論は、

「1/2kx²=mgx
①と答えが変わります。なぜ違うのでしょうか？」

↑釣り合わないものをイコールで結んでしまったから、ということですね。




エネルギーは目に見えないうえに、力の矢印のように図示するのも難しいので、扱いが難しいですね。
力と混同してエネルギーの釣り合いを思わず考えてしまいがちですが、注意しましょう。
ここを乗り越えてちゃんと理解できたら、一気に物理の考え方が身につき、今後楽になるかと思います。がんばってくださいね！

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/09 13:10

NO2に追加

(1/2)kx^2=mgx
となる瞬間は
バネが自然長で重りを繋げ離し
おもりが力が釣り合う点を通過して
おもりか再び静止する(運動エネルギーがゼロになる)
瞬間(おもリの振動の底位置)を意味します。

バネはこの時釣り合う長さの倍に伸びているので
重りは上昇に転じます。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/09 13:01

釣り合いというのは

力の均衡であって
位置エネルギーの増減がゼロになることではありません。

バネの自然長でのxをゼロとすると
バネが自然長で重りを繋げ離すとおもりは落下し
x=mg/kのところで力は釣り合いますが
慣性がありますから勿論止まりません。

言い方を少し変えると、位置エネルギーの増減の差が運動エネルギーとなり

運動エネルギー=mgx-(1/2)kx^2=(1/2)(mg)^2/k

でx=mg/kの点を通過するということになります。

重りを手で支えたまま、ゆっくり下げて行った場合
釣り合うのはやはり

kx=mg

の点です。この場合位置エネルギーの差は支えている手が吸収します。

エネルギーで釣り合いを表すには、エネルギーの増減の微分が
ゼ口になる点を探す必要があります。

d/dx(mgx-(1/2)kx^2)=mg-kx=0

で勿論結論は同じです。

この回答へのお礼

おもりが静止するためには手で支えてxまで伸ばさねばならず、その場合は自然長との間で弾性力の位置エネルギーと重力の位置エネルギーだけでは保存しないということですか？

保存させるには自然長で手を離し振動させるが、この場合は静止しない。よって②は誤りで①が正しい。

お礼日時：2023/10/09 13:34

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/09 12:59

②のとき、x=0の位置から、xの位置まで変化したときの

エネルギー変化の式である。

たとえば、x=0 でmを離すと、振動して停止しない。エネ
ルギー式は、下向きを+にとって　
　mv'=-kx+mg → mv²/2=-kx²/2+mgx
つまり、①の釣り合った位置では、v≠0 なので
　-kx²/2+mgx=mv²/2≠0
となり、
　1/2kx²=mgx
とはならない。

振動を止めるには、F=-kx+mg としたとき、-F の力を加え、
つり合いを保ちながら、xまで移動するとき、Fがバネにかか
り、バネを伸ばすので、この Fがする仕事が、バネの内部エ
ネルギーになる。

つまり
　W=∫F・ds=-kx²/2+mgx
ここで、xがつり合いの位置なら　kx=mg だから
　W=mgx/2
となる。

繰り返すと、①の状態にするには、②の手順を踏まないと
実現できない。