次の問題がどうしても答えが合いません、教えてください。
下図のように、なめらかな水平面上で、ばね定数k(N/m)、自然の長さL(m)の軽いばねの両端に、質量がそれぞれm(kg)、2m(kg)の小球P、Qを取りつける。P、Qに、ばねに平行で互いに異なる向きの速さv0(m/s)を同時に与えたところ、重心から見てP、Qはそれぞれ単振動を始めた。
最も縮んだときのばねの長さを求めよ。
解答) L - 2v0√(2m/3k)
私は、Pが縮めた長さをXp、Qが縮めた長さをXqとおき、次のつり合いの式をたてて考えました。
(1/2)k(Xp)^2 = (1/2)m(v0)^2
(1/2)k(Xq)^2 = (1/2)2m(v0)^2
これを計算し、
Xp=v0√(m/k)
Xq=v0√(2m/k)
となり、L - (Xp+Xq)計算したところ
答えが L - {v0√(m/k)}(1+√2)となってしまいました。
どのように計算したら、L - 2v0√(2m/3k)という答えが出るのでしょうか。教えてください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
静止系におけるP,Qの座標を x₁,x₂
P,Q運動方程式はそれぞれ
mx₁''=+k((x₂-x₁)-L)・・・・・①
2mx₂''=-k((x₂-x₁)-L)・・・・・②
②-2×①を計算すると
2m(x₂-x₁)''=3k((x₂-x₁)-L)
この解は単振動とすぐわかり
x₂-x₁-L=Acoswt+Bsinwt , w=√(3k/2m)・・・③
となる。t=0で
x₂(0)-x₁(0)=L
だから
0=A
③を微分して
x₂'-x₁'=wBcoswt
t=0のとき、x₂'(0)=-v₀, x₁'(0)=v₀ だから
B=-2v₀/w
まとめると③は
x₂-x₁=L-(2v₀/w)sinwt
したがって、最小は wt=π/2のときで
L-(2v₀/w)
となる。
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