高校物理「単振動と重心」

次の問題がどうしても答えが合いません、教えてください。

下図のように、なめらかな水平面上で、ばね定数k(N/m)、自然の長さL(m)の軽いばねの両端に、質量がそれぞれm(kg)、2m(kg)の小球P、Qを取りつける。P、Qに、ばねに平行で互いに異なる向きの速さv0(m/s)を同時に与えたところ、重心から見てP、Qはそれぞれ単振動を始めた。
最も縮んだときのばねの長さを求めよ。

解答) L - 2v0√(2m/3k)

私は、Pが縮めた長さをXp、Qが縮めた長さをXqとおき、次のつり合いの式をたてて考えました。
(1/2)k(Xp)^2 = (1/2)m(v0)^2
(1/2)k(Xq)^2 = (1/2)2m(v0)^2
これを計算し、
Xp=v0√(m/k)
Xq=v0√(2m/k)
となり、L - (Xp+Xq)計算したところ
答えが L - {v0√(m/k)}(1+√2)となってしまいました。

どのように計算したら、L - 2v0√(2m/3k)という答えが出るのでしょうか。教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/02/12 21:08

静止系におけるP,Qの座標を x₁,x₂

P,Q運動方程式はそれぞれ
　mx₁''=+k((x₂-x₁)-L)・・・・・①
　2mx₂''=-k((x₂-x₁)-L)・・・・・②
②－２×①を計算すると
　2m(x₂-x₁)''=3k((x₂-x₁)-L)

この解は単振動とすぐわかり
　x₂-x₁-L=Acoswt+Bsinwt , w=√(3k/2m)・・・③
となる。t=0で
　x₂(0)-x₁(0)=L
だから
　０=A

③を微分して
　x₂'-x₁'=wBcoswt
t=0のとき、x₂'(0)=-v₀, x₁'(0)=v₀　だから
　B=-2v₀/w

まとめると③は
　x₂-x₁=L-(2v₀/w)sinwt

したがって、最小は wt=π/2のときで
　L-(2v₀/w)
となる。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます！
とてもわかりやすくて助かりました。

お礼日時：2022/02/12 23:27