画像の四角形が円に内接するための条件の「対角の和は180°である」ことの証明で、最初の仮定の内容があ

画像の四角形が円に内接するための条件の「対角の和は180°である」ことの証明で、最初の仮定の内容があまり腑に落ちません。
自力で証明する力のある皆さんはどのように考えてこの証明方法を導いていらっしゃるのかお聞きしたいです。

この証明自体は納得がいくのですが、画像にある、
最初っから対角の和が180°になっている四角形を用意するところに違和感を抱いてしまいます。

それ前提でいいなら、そうなりそうだなと思ってしまいます。
自力で証明ができる人はどう考えて「この仮定をしよう」と判断するのでしょうか？

また、数学の証明における仮定のセーフ判定、アウト判定はどのように理解すればいいでしょうか？
（証明として成立する仮定、成立しない仮定の判定基準ってどんなものでしょうか？）

個人的には、「対角180°の四角形を用意する」というのはギリッギリのセーフみたいな印象を持ってしまいます。

数学があまり得意ではないので易しいご回答をよろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 証明の最後の方が切れてたのでそこの画像も載せておきます。

  
    補足日時：2023/10/21 00:01

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/21 13:59

その証明は、

対角の和が180°である四角形は円に内接する事の証明であって、
円に内接する四角形の対角の和が180°である事の証明ではありません。
円に内接する四角形の対角の和が180°である事を証明するには...

円に内接する四角形を ABCD として、
∠ABC + ∠CXA = 180° となる点 X をとります。
対角の和が180°である四角形は円に内接する事から、
□ABCX は円に内接します。この円は、△ABCの外接円であることから
□ABCＤ が接する円と共通です。
あとは、この円で円周角の定理を使うと、∠CDA = ∠ＣXA が判って
∠ABC + ∠CＤA = 180° が言えます。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/21 05:08

その証明は

対角の和は180°である四角形が円に内接する事の証明であって
円に内接する四角形の対角の和は180°である事の証明ではありません

円に内接する四角形の対角の和は180°である事の証明)

四角形ABCDが円Oに内接するとする
円周角の定理から
中心角∠BODは円周角∠BADの2倍だから
∠BOD=2∠BAD
中心角
∠DOB=360°-∠BOD
は円周角∠BCDの2倍だから
360°-∠BOD=2∠BCD
360°-2∠BAD=2∠BCD
360°=2∠BAD+2∠BCD
∴
180°=∠BAD+∠BCD

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/21 02:10

かくにん.

「1の証明」とか書いてあるんだけど, そもそも「1」自体は (それだけでは) 証明のしようがない. 「1の証明」というのが正確にはどのような命題を「証明」するのか, そこを明確に書いてもらえないだろうか.

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/21 00:58

円ABCDに内接する四角形は私の説明で理解してもらっているように

四角形ABCDが　∠ ABC+ ∠ ADC=180° を満たせば　その四角形には外接円ABCDがある　つまり　外接円ABCDを描ける！ということを説明しています！(その証明は(1の証明)に記載の通り)
逆も真　(私の解説) 　つまり
　∠ ABC+ ∠ ADC=180°を満たす四角形ABCD　と
円周上の点ABCDからなる四角形ABCD は同値である！
　卵がさきか　鶏がさきか　のような感じかな？

最初っから対角の和が180°になっている四角形を用意する
ところにひっかかれているようですが　この条件を満たすどんな四角形でも
外接円が描ける点において条件付きではあるが一般論としての普遍性がある！
「四角形ABCDにおいて　∠ ABC+ ∠ ADC=180° とする」
の部分を書き換えるならば　抽象的に　四角形において向かい合う対角の合計が180°　でいいのでは！？

No.2 回答者： seiji91 回答日時： 2023/10/21 00:47

おっしゃりたい事は・・・

画像の四角形が円に内接するための条件の「対角の和は180°である」の証明であるなら、
内接してる状態では必ず「対角の和＝180°」である、つまり必要条件なので、
「対角の和＝180°」前提で始めたら「対角の和≠180°」で内接する状態を排除できない・・って事ですよね？
この場合は、必要十分条件なんで偶然解けるだけって。
であれば、この問題の正確な文章を全部書いてもらわないと・・・

それとも、図形の問題でうまい事補助線引ける人とか、方程式の問題なのにグラフ化して作図でサクッと解いちゃう人の思考が知りたい？

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/20 23:33

最初っから対角の和が180°になっている四角形を用意する

というよりも　上記の例で言えば
四角形ABCDにおいて　この四角形が円に内接するには
線分ACにおいて　B側の　孤ACの円周角が∠ADCであり　また
D側の　孤ACの円周角が∠ABCであり　
B側の　孤AC　と　D側の　孤AC　の合計が円周であるので　
円周角は中心角の半分だから　３６０/２=１８０°である。
1の証明は　とってつけたような感じだが　どんな三角形を描いても
∠ABC+∠ADC=180°となる場合は　記載した通り円周角の考えで
必要十分となる！
理解できなければ
円ABCDにおいてACの他に直径を引けば　タレスの定理で
直径を通る円周角は90°であり　残りの2つの孤に対する円周角は
90°以外の残りの2角　(円に内接する直角三角形になるため)
であるので　180-90=90°で　合計９０+９０=１８０°となる！

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ご説明いただいたことは、なんとなくですが理解できたつもりです。

お手数おかけしてしまい大変申し訳ないのですが
もしよろしければ、画像の
「四角形ABCDにおいて
∠ ABC+ ∠ ADC=180° とする」
の部分を書き換えるとしたらどんな感じの文章になるのかを教えていただけないでしょうか。

お礼日時：2023/10/21 00:13