０！（ゼロの階乗）について

高校数学にでてくる階乗の問題についてですが、１！（１の階乗）は１というのはわかるんですが、０！が１というのがどうもわかりません。０！＝１というのが証明出来る方どうかお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2002/02/14 20:11

階乗はもともと自然数についてのみ定義されたものですから，

それを自然数以外に拡張するときは階乗の重要な性質とつじつまが合うように
拡張するのが筋だと言うことになります．

階乗の重要な性質が zooom さんの書かれている
n!＝n×(n-1)!
で，これはもちろん n>2 でないと意味がありませんが，
n=1 でも成り立つと思えば 0!=1 としないとつじつまがあいません．
そういう意味では maruru01 さんの「決め事」です．

拡張はたいていこの精神でやるわけで，x^(-2) などでも同じです．
もともとべき乗は自然数でないと意味がありませんでしたが，
べき乗の重要な性質
x^(m-n) = x^m÷x^n　　(m>n)
を m<n まで成り立つとすると，x^(-2) = 1/x^2 などとなるわけです．

余談ですが，部分積分をご存知なら
(1)　　Γ(n) = ∫{0～∞} e^(-t) t^(n-1) dt
という積分を考えてみてください．
部分積分で
(2)　　nΓ(n) = Γ(n+1)
が簡単に得られます．(2)で n の代わりに n+1 と書くと
ですが，Γ(n+1) のことを Π(n) と書くことにしますと(2)は
(3)　　nΠ(n-1) = Π(n)
となって，Π(1)=1 (これは(1)からすぐわかります)とあわせて
Π(n)はまさに n! になっています．

(1)で n は任意の実数としても大丈夫ですから，
こういう風にすると n! の n が任意の実数 x に拡張できたことになります．
さらに，任意の複素数 z に対しても拡張できます．

(1)の Γ(z) はガンマ関数としてよく知られています．
大学の理工系に行くと，必ずと言っていいほどお目にかかるでしょう．

No.2 回答者： maruru01 回答日時： 2002/02/14 19:17

こんにちは。

maruru01です。
0!=1って確か定理（決め事）じゃなかったかな、確か。
xの0乗が1というのと同じで、計算などで都合がいいように、そう決めたんじゃなかったでしょうか。
だから、証明とかそういう話にはならないような気がします。
では。

No.1 回答者： zooom 回答日時： 2002/02/14 19:14

数学的に言う「証明」として成り立つのかは別として、納得してもらえそうに書きます。

ｎ！＝ｎ×（ｎ－１）！
ですよね。なら、
１！＝１×０！＝１
よって
０！＝１

どうっすか？