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(2)ですがなぜこれで極大値と極小値を持つ、と言えるんですか?

「極大極小の問題について」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 1枚目です

    「極大極小の問題について」の補足画像1
      補足日時:2023/11/05 22:04
  • 補足1枚目です

    「極大極小の問題について」の補足画像2
      補足日時:2023/11/05 22:05
  • 補足1枚目です

    「極大極小の問題について」の補足画像3
      補足日時:2023/11/05 22:08

A 回答 (3件)

「なぜこれで」と言われましても、補足の写真には


極大値と極小値を持つと言ってる部分が引用されてませんが?

要するに、増減表を書けばよいのです。
微分可能な関数の極値点は導関数が符合変化する場所と一致しますから、
導関数の正負を調べればよい。

f’(x) は既に (1) で求めています。
f’(x) = (log x)^2 - 2(log x)/x^2 ですが、
f’(x) = (log x){ (log x) - 2/x^2 } と因数分解できますから、
log x と (log x) ^2 - 2/x^2 の正負をそれぞれ調べれば済みます。

log x は 0 < x < 1 のとき負、 1 < x のとき正ですね。

(log x) - 2/x^2 のほうは、 = 0 となる x が数値で求まらないのが厄介ですが、
g(x) = (log x) - 2/x^2 と置けば g’(x) = 1/x + 4/x^3 > 0.
x > 0 で g’(x) > 0 ですから、g(x) は単調増加です。
これと g(√3) = (log 3)/2 - 2/3 < 0, g(2) = (log 2) - 1/2 > 0 を併せると、
√3 < α < 2 の範囲のどこかに実数 α があって
0 < x < α では g(x) < 0, α < x では g(x) > 0 であることが判ります。

以上のことを使って f(x) の増減表を書くと、
x   0  1  √3  α  2
log x   - 0  +
g(x)        -   0  +
f’(x)   + 0  -   0  +  ←この行が重要 f’(x) = (log x)g(x)
f(x)     極大    極小
となって、極値のありかが判ります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2023/11/08 12:37

x>0で定義された関数


f(x)=x(logx)^2-2(x-1/x)logx+2(x+1/x)
がある
(1)
f'(x)
=(logx)^2+2logx-2(1+1/x^2)logx-2(x-1/x)/x+2(1-1/x^2)
=(logx)^2+2logx-2logx-(2logx)/x^2-2+2/x^2+2-2/x^2
=(logx)^2-(2logx)/x^2

(2)
f'(x)=(logx)(logx-2/x^2)
0<x<1のとき logx<0
x=1のとき logx=0
x>1のとき logx>0
だから
g(x)=logx-2/x^2
とすると
g'(x)=1/x-2(-2/x^3)=(x^2+4)/x^3>0
だから
x>0においてg(x)は単調に増加する

g(2)
=log2-1/2
=(1/2)(2log2-1)
=(1/2)log(4/e)>0

g(√3)
=log√3-2/3
=(1/2)log3-2/3
=(1/6)(3log3-4)
=(1/6)log(27/e^4)<(1/6)log(27/2.7^4)

log(27/2.7^4)=log(27*10^4/27^4)=log(10^4/27^3)=log(10000/19683)<0
だから

g(√3)<0

g(1)=-2<0
よって,g(x)は√3≦x≦2において連続だから
g(α)=0を満たす実数αが√3<α<2の範囲にただ1つ存在し
0<x<α のとき g(x)<0
x=αのとき g(x)=0
x>αのとき g(x)>0

g(α)=logα-2/α^2=0
logα=2/α^2

f'(x)=(logx)g(x) だから
f'(x)=0を満たす x は,1およびαであり

0<x<1 のとき logx<0,g(x)<0だから f'(x)=(logx)g(x)>0 だからf(x)は増加
1<x<α のとき logx>0,g(x)<0だから f'(x)=(logx)g(x)<0 だからf(x)は減少
x>α のとき logx>0,g(x)>0だから f'(x)=(logx)g(x)>0 だからf(x)は増加
となるから
x=1 のとき
f(x)は極大値f(1)=4
をもつ
x=α のとき
f(x)は
極小値
f(α)
=α(logα)^2-2(α-1/α)logα+2(α+1/α)
=α(2/α^2)^2-2(α-1/α)2/α^2+2(α+1/α)
=4/α^3-4/α+4/α^3+2α+2/α
=2α-2/α+8/α^3
をもつ
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2023/11/08 12:36

ぼやけて全く読めません。

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